WWW.UK.X-PDF.RU

БЕЗКОШТОВНА ЕЛЕКТРОННА БІБЛІОТЕКА - Книги, видання, автореферати

 
<< HOME
CONTACTS




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы

Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы
Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 16 |

«В. В. ПОПОВ МЕТОДИ ОБЧИСЛЕНЬ Конспект лекцій для студентів механіко-математичного факультету УДК 519.61(075.8) ББК 22.161.68я П5 Рецензенти: д-р фіз.-мат. наук, проф. А. А. Глущенко, ...»

-- [ Страница 1 ] --

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

В. В. ПОПОВ

МЕТОДИ ОБЧИСЛЕНЬ

Конспект лекцій для студентів

механіко-математичного факультету

УДК 519.61(075.8)

ББК 22.161.68я

П5

Рецензенти:

д-р фіз.-мат. наук, проф. А. А. Глущенко,

д-р фіз.-мат. наук, проф. С. І. Ляшко

Рекомендовано до друку вченою радою

механіко-математичного факультету

(протокол № 11 від 01 липня 2011 року) Попов В. В.

П58 Методи обчислень : конспект лекцій для студентів механікоматематичного факультету / В. В. Попов. – К. : Видавничополіграфічний центр "Київський університет", 2012. – 303 с.

ISBN 978-966-439-526Викладено сучасні інструментальні можливості розв'язування математичних задач у числовому й аналітичному вигляді. Містить усі розділи наближених обчислень – від числових методів у алгебрі до числових методів у математичній фізиці.

Для студентів механіко-математичного факультету.

УДК 519.61(075.8) ББК 22.161.68я73 ISBN 978-966-439-526-4 © Попов В. В., 201 © Київський національний університет імені Тараса Шевченка, ВПЦ "Київський університет", Зміст Від автора

Вступ

Похибки

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Прямі методи

Метод виключення Гаусса

Метод оптимального виключення

Метод факторизації

Метод квадратного кореня

Метод прогонки

Ітераційні методи

Метод простої ітерації

Метод Зейделя

Урахування похибок заокруглення

Міра обумовленості

Ітераційне покращення наближеного розв'язку

Регуляризація СЛАР

Алгебраїчна проблема власних значень

Повна проблема власних значень

Метод обертань

Часткова проблема власних значень

Ітераційно-степеневий метод

Нелінійні рівняння

Одновимірні рівняння

Метод Ньютона

Модифікований метод Ньютона

Метод січних

Метод дихотомії

Метод хорд

Метод простої ітерації

Система рівнянь

Метод Ньютона

Метод простої ітерації

Наближення функцій

Системи Чебишова

Узагальнена теорема Ролля

Достатні умови систем Чебишова

Існування та єдиність розв'язку задачі інтерполювання................

Приклади систем Чебишова

Інтерполяційні многочлени

Інтерполяційний многочлен у формі Лагранжа

Інтерполяційний многочлен у формі поділених різниць...............

Інтерполяційні многочлени у формі скінченних різниць..............

Збіжність інтерполяційних многочленів

Інтерполяційні сплайни

Побудова інтерполяційних кубічних сплайнів

Екстремальна властивість інтерполяційних кубічних сплайнів

Збіжність інтерполяційних сплайнів

Числове диференціювання

Побудова формул числового диференціювання

Використання інтерполяційних функцій

Метод невизначених коефіцієнтів

Некоректність задачі числового диференціювання

Числове інтегрування

Квадратурні формули

Інтерполяційні квадратурні формули з фіксованими вузлами

Побудова квадратурних формул

Приклади побудови квадратурних формул

Квадратурні формули Ньютона–Котеса

Оцінка похибки квадратурних формул Ньютона–Котеса.............

Узагальнені інтерполяційні квадратурні формули

Узагальнена квадратурна формула трапецій

Узагальнена квадратурна формула Сімпсона

Інтерполяційні квадратурні формули найвищого алгебраїчного степеня точності

Теорема про квадратурні формули найвищого алгебраїчного степеня точності

Похибка квадратурних формул найвищого алгебраїчного степеня точності

Побудова квадратурних формул найвищого алгебраїчного степеня точності

Квадратурні формули типу Гаусса

Наближене розв'язування звичайних диференціальних рівнянь

Початкова задача

Метод послідовних наближень

Степеневий метод

Методи типу Рунге–Кутта

Методи типу Адамса

Крайова задача

Метод редукції до задачі Коші

Проекційні методи

Варіаційні методи

Метод скінченних різниць

Числове розв'язування диференціальних рівнянь із частинними похідними

Метод скінченних ріниць для ДРЧП

Побудова РС із використанням формул числового диференціювання

Побудова РС інтегро-диференціальним методом (методом балансу)

Побудова РС методом невизначених коефіцієнтів

Дискретизація крайових умов методом фіктивної точки..............

Дискретизація крайових умов методом підвищення порядку апроксимації

Рівномірна стійкість за початковими даними

Апроксимація РС

Ознаки стійкості РС

Способи дослідження стійкості РС

Параболічні рівняння

Одновимірні рівняння

Багатовимірні рівняння

Поздовж-поперечна схема

Локально-одновимірна схема

Еліптичні рівняння

Гіперболічні рівняння

Одновимірні рівняння

Багатовимірні рівняння

Числове розв'язування інтегральних рівнянь

Числове розв'язування коректних інтегральних рівнянь...............

Метод квадратур

Методи заміни шуканої функції

Метод заміни ядра виродженим

Метод послідовних наближень

Регуляризація інтегральних рівнянь, стабілізатор Тихонова.........

Основи методу граничних інтегральних рівнянь................

Основні співвідношення теорії потенціалу

Ньютонів потенціал

Потенціал простого шару

Потенціал подвійного шару

Поведінка потенціалу простого шару та його нормальної похідної при перетинанні шару

Поведінка потенціалу подвійного шару при перетинанні шару...

Потенціали простого і подвійного шару у двовимірному просторі та їх зв'язок з інтегралом типу Коші

Інтегральні формули

Метод потенціалу

Метод граничних інтегральних рівнянь для задач теорії потенціалу

Метод граничних інтегральних рівнянь для крайових задач аналітичних функцій комплексної змінної

Метод граничних інтегральних рівнянь для крайових задач узагальнених аналітичних функцій комплексної змінної

Метод граничних інтегральних рівнянь і апроксимація розв'язку

Приклад використання методу граничних інтегральних рівнянь

Мішана задача для гармонічної функції на півплощині................

Особливості числової реалізації МГІР Основи методу скінченних елементів

Одновимірні крайові задачі

Список літератури ВІД АВТОРА Дисципліна "Методи обчислень" викладається на механікоматематичному факультеті студентам IV курсу і вміщує всі розділи наближених обчислень – від числових методів у алгебрі до числових методів у математичній фізиці. Сучасні інструментальні можливості розв'язування математичних задач в числовому та аналітичному вигляді значно перевершують свої аналоги, скажімо, 25-річної "давнини". Користувачі пакетів Mathlab, Maple, Mathematica, SPSS тощо можуть достатньо успішно розв'язувати прикладні математичні задачі. Але "чорні ящики" цих пакетів напаковані конкретними алгоритмами, зміст яких часто прихований. Звичайно, користувач цих прогресивних пакетів має розумітися у вибраних процедурах (хоча б за їх назвою). Знання методів обчислень дозволяють користувачам критично ставитися до пакетів обчислень: якісно вибирати ті чи інші процедури, або, навпаки, – навіть відмовлятися від них у спеціальних випадках. Тут доречна думка англійського філософа Роджера Бекона "… той, хто не знає математики, не може знати ніякої іншої науки…". Крім того, яскраві ідеї методів обчислень заслуговують на окрему увагу творчої особи.

Лекційний матеріал згруповано за темами, кожній із яких присвячено певну кількість занять. Нумерація формул проста й поновлюється з кожною темою. Нумерація таблиць і рисунків неперервна. Список літератури – загальний для всіх тем, але на початку тем дано посилання на конкретні бібліографічні джерела з цього загального списку. Завдання для самостійної роботи студентів супроводжуються значком. Початок і кінець розв'язування прикладів позначаються символами і відповідно.

Автор вдячний студентам, які уважно слухали лекції, ставили цікаві питання, створювали та аналізували свої контрприклади, що без сумніву позитивно вплинуло на методологічний характер лекцій.


Купить саженцы и черенки винограда

Более 140 сортов столового винограда.


Особливо вдячний автор професору А. А. Глущенку, який завжди уважно ставився до методології викладання предмета і дав багато корисних порад.

Автор сподівається, що запропоновані лекції принесуть користь студентам, викладачам та спеціалістам.

Вступ

Дисципліна "Методи обчислень" закумулювала в собі алгоритми побудови наближених розв'язків різних математичних задач сучасної математики: алгебри, математичного аналізу, диференціальних та інтегральних рівнянь тощо. Ці наближені розв'язки отримуються, як правило, у вигляді певних числових масивів, або у певному чисельно-аналітичному вигляді. Звичайно, виникають суттєві питання щодо якості наближених розв'язків: наскільки вони відрізняються від шуканих точних розв'язків, які фактори впливають на покращення (погіршення) очікуваного наближеного результату та, врешті-решт, як виконувати обчислення безпосередньо.

Методи обчислень мають довгу історію, яку можна умовно розбити на три етапи. Перший етап – до епохи Відродження – пов'язаний із необхідністю обчислень характеристик простих геометричних об'єктів (відстані, кути, площі, об'єми тощо), розрахунків простих механічних пристроїв та систем, обчислень в астрономії. На цьому етапі особливо помітні відкриття Архімеда (287–212 р. до н.е.). Відомо, що саме він знайшов відрізок числової осі, у якому міститься число, надав йому прості у практичному використанні межі інтервалу ( 3 ; 3 ). Відносна похибка

–  –  –

з цього відрізка становить усього 0,04 %. Вражає своєю точністю досягнення давньогрецького філософа Гіпарха: 365 днів 5 годин 55 хвилин – така за його обчисленнями тривалість року на Землі. Ці дані відрізняються від сучасних лише на 0,001 %!

Серед відомих алгоритмів – алгоритм Евкліда щодо визначення найбільшого спільного дільника натуральних чисел: віднімати від більшого менше із двох чисел доти, доки вони не зрівняються.

Другий етап суттєво менший за розміром: від епохи Відродження до середини ХХ століття. Але за кожним іменем математиків того періоду – значна кількість видатних досягнень! Серед них Ньютон, Ейлер, Лагранж, Гаусс, Левер'є, Адамс, Бубнов, Гальоркін, Крилов та ін. І цей список видатних імен далеко не повний. Їхні дослідження стали вагомим внеском в обчислювальну математику. Саме у другому періоді з'явився математичний аналіз, диференціальні рівняння, що привело до можливості втілення нових інженерних проектів через розрахунки з високою точністю.

Третій етап – від середини ХХ століття до нашого часу. Це етап постановки та розв'язування нелінійних задач, що відповідають складним математичним моделям процесів природи і технологій. Характерна риса цього етапу – систематичне використання комп'ютерів.

Об'єднує всі етапи так званий головний метод наближених обчислень, який можна описати на прикладі розв'язування деякого операторного рівняння

–  –  –

Рекомендована література: [1–3, 7, 8, 10] Поняття похибок обчислень викладено майже в усіх посібниках із методів обчислень. Перш за все це відомі поняття абсолютної та відносної похибок числа. Абсолютною похибкою a числа a називається абсолютне значення різниці між даним числом та його ~ ~ наближеним значенням a, тобто: a = a a. Відносною похибкою a числа a 0 називається відношення абсолютної похибки a a до абсолютного значення числа a, тобто: a =.

a Під час використання наближених чисел важливо усвідомлювати таке: число має скінченний запис, що пов'язано з поняттям значущих та вірних цифр. Значущою цифрою наближеного числа називається кожна цифра в його десятковому зображенні, включаючи нулі між ненульовими цифрами та нулі праворуч від ненульових цифр, але виключаючи нулі перед першим ненульовим символом. Наприклад, наближений запис числа 3,14159 містить 6 значущих цифр, число 34000 містить 5 значущих цифр, число 0,0034 містить 2 значущі цифри. Такі самі правила визначення значущих цифр і для чисел, що записані в експоненціальному вигляді. Наприклад, число 0,365E+06 містить 3 значущі цифри. Цифра наближеного числа називається вірною, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці десяткового розряду цієї цифри. Наприклад, нехай дано точне число a = 19,0547 та його наближене значення a = 19,0500. Тут у записі наближеного значення числа 6 значущих цифр, із яких чотири – вірні, тому що |19,0547–19,0500| = 0,0047 0,01/2.

Методами диференціального числення можна сформулювати основні правила обчислення похибок при здійсненні арифметичних операцій та елементарних функцій над наближеними числами ([10], ).

Похибки обчислень за типом їх походження можна подати у вигляді трьох груп.

1. Неусувні похибки. До цього типу належить похибки вихідних даних, значення яких використовуються у подальших обчисленнях.

Наприклад, значення 9,81 м/с2 гравітаційної константи – наближене.

Якщо відсутня можливість зменшити помилку, то результат усіх обчислень залежатиме від цієї вихідної помилки.

2. Похибки методу. Цей тип похибок породжений вибраним методом наближеного розв'язання поставленої задачі. Для прикладу, розглянемо задачу знаходження наближеного значення

–  –  –

9,00. Використання методів лівих прямокутників, правих прямокутників, трапецій приведуть до різних через похибку наближених значень цього інтеграла: 0,00, 27,0, 13,5 відповідно.

3. Похибки заокруглень. Який би пристрій-виконавець обчислень ми не використовували б – не уникнути, узагалі кажучи, похибок, що пов'язані з обмеженнями кількості десяткових розрядів числа. Саме таке обмеження приводить до необхідності заокруглення чисел і, як результат, до відповідних похибок.

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь Рекомендована література: [8, 10, 13, 17, 29]

Однією з основних задач лінійної алгебри є задача розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР):

–  –  –

де A = {aij }in, j =1 – матриця, f = { f i }in=1 – вектор вільних членів, u = {ui }in=1 – шуканий вектор, n – порядок системи. До СЛАР зводиться більшість сучасних числових методів розв'язування крайових задач, інтегральних рівнянь. Крім того, СЛАР часто використовуються в дослідженнях спеціальних властивостей математичних об'єктів.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 16 |
Похожие работы:

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. І. І. МЕЧНИКОВА ЕКОНОМІКО-ПРАВОВИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА КОНСТИТУЦІЙНОГО ПРАВА ТА ПРАВОСУДДЯ М. О. Бідюк АДВОКАТУРА В УКРАЇНІ НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК Для студентів юридичних спеціальностей Денної та заочної форм навчання м. Одеса Рекомендовано рішенням кафедри конституційного права та правосуддя Економіко-правового факультету ОНУ ім. І. І. Мечникова Протокол № 1 від 30.08.2013 р. Та рішенням Вченої Ради...»

«СОЦІОЛОГІЯ УДК 325.07 О.А. Ровенчак Львівський національний університет імені Івана Франка ВИСВІТЛЕННЯ ПИТАНЬ МІЖНАРОДНОЇ МІГРАЦІЇ НА СТОРІНКАХ УКРАЇНСЬКОЇ ПРЕСИ У статті представлено результати дискурс-аналізу (з елементами контент-аналізу) трьох українських газетних видань на предмет висвітлення питань міжнародної міграції. Особливо виділено питання економічної міграції (точніше такої її форми, як трудова міграція), довгострокової міграції (діаспор), а також злочинності у цій сфері. Ключові...»

«НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ДЕРЖАВНОГО УПРАВЛІННЯ ПРИ ПРЕЗИДЕНТОВІ УКРАЇНИ ЯРОШ Наталія Петрівна УДК 351.77:614.2 ДЕРЖАВНЕ РЕГУЛЮВАННЯ РОЗВИТКУ СОЦІАЛЬНИХ СТАНДАРТІВ У СФЕРІ ОХОРОНИ ЗДОРОВ’Я 25.00.02 – механізми державного управління АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня доктора наук з державного управління КИЇВ – 2009 ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ У вступі обґрунтовано вибір та актуальність теми дисертації, визначено стан наукової розробки проблеми, встановлено зв’язок дослідження з...»

«Посібник з експлуатації UA № 99 244.UA.80В.0 + ІНСТРУКЦІЯ З ПРИЙОМУ-ПЕРЕДАЧІ УСТАТКУВАННЯ... СТОР. 3 EUROTOP 1251 A (Тип SK 244 : +.. 01001) Валкувач Ihre / Your / Votre • Masch.Nr. • Fgst.Ident.Nr. Шановний покупець! UA Ви зробили правильний вибір і ми раді вітати Вас з покупкою виробу компанії Pttinger und Landsberg. У якості Вашого партнера по сільськогосподарській продукції ми пропонуємо Вам якість та продуктивність, які пов’язані з надійним сервісом. Для того щоб оцінити умови...»

«Національний лісотехнічний університет України 5. ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ ГАЛУЗІ УДК 004.94:674.047 Проф. Я.І. Соколовський, д-р техн. наук; асист. О.В. Мокрицька – НЛТУ України, м. Львів МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ В'ЯЗКОПРУЖНОГО ДЕФОРМУВАННЯ КАПІЛЯРНО-ПОРИСТИХ МАТЕРІАЛІВ У рамках механіки гетерогенних середовищ синтезовано математичну модель напружено-деформівного стану деревини як трифазної системи, що складається з твердої (деревної речовини), рідкої і пароповітряної фаз. Визначальні співвідношення...»

«Національна академія наук України Міністерство освіти і науки України Європейське товариство з цілісності конструкцій Українське товариство з механіки руйнування матеріалів Інститут електрозварювання ім. Є.О. Патона НАН України Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Львівський національний університет ім. Івана Франка Національний університет “Львівська політехніка” Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України 5та МІЖНАРОДНА КОНФЕРЕНЦІЯ...»

«Міністерство освіти і науки України Вінницький національний технічний університет Г. С. Ратушняк, К. В. Анохіна ЕНЕРГОЕФЕКТИВНІ ТЕХНОЛОГІЧНІ ПРОЦЕСИ ТА ОБЛАДНАННЯ БІОКОНВЕРСІЇ Монографія Вінниця ВНТУ УДК 662.767.2 Р25 Рекомендовано до друку Вченою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України (протокол № _ від _ 2013 р.) Рецензенти: С. Й. Ткаченко, доктор технічних наук, професор І. П. Паламарчук, доктор технічних наук, професор...»

«І.Ангелко. Тіньова діяльність як джерело доходу: основні форми вияву / І.Ангелко // Галицький економічний вісник. — 2010. — №2(27).— с.108-115 (економіка України) УДК 338.2 Ірина АНГЕЛКО ТІНЬОВА ДІЯЛЬНІСТЬ ЯК ДЖЕРЕЛО ДОХОДУ: ОСНОВНІ ФОРМИ ВИЯВУ Резюме. У статті розкрито зміст тіньових доходів, подано основні методи ухилення від сплати податків, проаналізовано механізмами одержання тіньових доходів та домінуючі сегменти сучасної тіньової економічної діяльності. The summaru. Maintenance of shadow...»

«Міністерство освіти і науки України Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут» ПОКІНТЕЛИЦЯ МИКОЛА ІВАНОВИЧ УДК 621.9.022:621.914.0 НАУКОВІ ОСНОВИ КОМПЛЕКСНОЇ ТЕРМОФРИКЦІЙНОЇ ТА МЕХАНІЧНОЇ ОБРОБКИ ДЕТАЛЕЙ, ЯКІ ВРАХОВУЮТЬ КОЛИВАННЯ В ТЕХНОЛОГІЧНІЙ СИСТЕМІ ВЕРСТАТА Спеціальність 05.03.01 – процеси механічної обробки, верстати та інструменти Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук Київ – 2013 Дисертацією є рукопис. Робота...»

«Міністерство освіти і науки України Донбаська державна машинобудівна академія Ю.О. Єрфорт С.В. Подлєсний В.М. Іскрицький ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА ДИНАМІКА Навчальний посібник з методичними вказівками і контрольними завданнями для студентів машинобудівних спеціальностей заочної форми навчання Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів заочної форми навчання для механічних спеціальностей КРАМАТОРСЬК УДК ББК 22. ТРецензенти: В.Б.Малєєв, д-р техн.наук, проф....»




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы


 
2013 www.uk.x-pdf.ru - «Безкоштовна електронна бібліотека»