«ЕВРИКА – ХІІІ ЗБІРНИК СТУДЕНТСЬКИХ НАУКОВИХ ПРАЦЬ Івано-Франківськ Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника ББК 70.516 М34 Рекомендовано до друку вченою радою ...»
У роботі [1] було наведено приклад узагальненого дифузійного процесу на дійсній прямій з коефіцієнтом переносу a( x) = c ( x) та одиничним коефіцієнтом дифузії, який ми далі будемо називати асиметричним броунівським рухом.
Систематичний виклад теорії узагальнених дифузійних процесів можна знайти в монографії [2].
Нашою метою є побудувати та дослідити властивості двовимірного узагальненого дифузійного процесу, кожна координата якого є асиметричним броунівським рухом.
Розглядаємо двовимірний випадковий процес (t ) = ( c (t ), d (t )), де c (t ) та
– одновимірні незалежні випадкові процеси, що є асиметричними d (t )
де B( x) = I – одинична матриця.
Отже, доведено, що двовимірний випадковий процес (t ) є узагальненим дифузійним, вектором переносу якого є A( ) = c x i d y j,, а матрицею дифузії – одинична матриця. Зауважимо, що матриця дифузії цього процесу існує не тільки в узагальненому сенсі, а і в звичайному розумінні.
Із властивостей побудованого процесу відзначимо, що поки він знаходиться в одній із координатних чвертей, він веде себе як звичайний вінерів процес. Попадаючи на одну з осей, процес одержує деякий імпульс (що визначається величиною відповідного параметра c чи d ). Цей імпульс заставляє процес повернутися назад або прейти в суміжну півплощину і там залишатися, або рухатися між цими півплощинами з деякою затримкою на осі.
1. Портенко М. І. Дифузія в середовищах з напівпрозорими мембранами / М. І. Портенко. – К. : Інститут математики НАН України, 1994. – 134 с.
2. Портенко Н. И. Обобщенные дифузионные процессы / Н. И. Портенко. – К. : Наукова думка, 1982. – 208 с.
<
За допомогою функцій Ґріна Gk (t, ), k N, незбуреної задачі (3), (4) (ці функції побудові конструктивно) задачу (3), (4) зведено до еквівалентної їй системи інтегро-диференціальних рівнянь
де j (k ) a j ki b j, які можуть бути як завгодно малими за модулем для нескінченної кількості цілих k.
Використовуючи принцип Каччопполі-Банаха, доведено існування єдиного розв’язку рівняння (7) у кулі S (u 0, r ), а також його неперервну залежність від функції f (t, x) для майже всіх (відносно міри Лебега в R) чисел T (2 ) 0 та для всіх достатньо малих = (n, r, T, µ, ) (| | 0).
У цій роботі використано методи і деякі результати з [1; 2].
1. Нелокальні крайові задачі для рівнянь із частинними похідними / [Пташник Б. Й., Ільків В. С., Кміть І. Я., Поліщук В. М.]. – К. : Наук. думка, 2002. – 416 с.
2. Гой Т. П. Задача з нелокальними умовами для рівняння з частинними похідними, збуреного нелінійним інтегро-диференціальним доданком / Т. П. Гой // Мат. студії. Праці Львів.
мат. т-ва. – 1997. – Т. 8, № 1. – С. 71–78.
За останні роки робота інженерів-програмістів, наукових працівників змінилась докорінно. Стрімке зменшення габаритів і зниження вартості сучасних ЕОМ з одночасним розширенням їх можливостей призвело до повсюдного використання комп’ютерів у різних галузях науки і техніки. Питання “Як можна сформулювати дану задачу на комп’ютері?” змушує по-новому подивитись на попередні задачі і дає змогу розглядати більш складніші.
У роботі [1] запропонована інформаційна технологія дослідження напружено-деформованого стану пружних стержнів довільного перерізу. Ефективний підхід використовує новий варіант методу Монте-Карло, в якому апостеріорні перехідні ймовірності у схемі випадкових блукань вперше замінені апріорними.
Це призводить до суттєвого прискорення обчислень, що досягається застосуванням спеціального обчислювального шаблону у формі симплекс-елемента.
Вдале поєднання ймовірнісних ідей методу Монте-Карло і барицентричних координат симплексу звільняє від необхідності складати і розв’язувати великі системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Традиційне нанесення сітки скінченних елементів на досліджувану область також стає непотрібним, досить передбачити обертання симплекса, який транслює граничну інформацію у досліджувану точку. Розроблені математичні моделі і написані ефективні та зручні в користуванні комп’ютерні програми, що реалізують алгоритми способу обертання симплексу (СОС). Розроблена й описана технологія комп’ютерної реалізації СОС на прикладах стаціонарної температурної задачі [2] та задачах кручення пружних стержнів складного перерізу [3].
Задача побудови стаціонарного поля температур всередині деякої області при заданій температурі на границі цієї області зводиться до розв’язування задачі Діріхле для рівняння Лапласа.
Виклад основних результатів комп’ютерного аналізу задачі про стаціонарний розподіл температур у квадратній пластині подається в [4]. Ця задача з геометрично простою областю приваблива тим, що на ній можна порівняти різні обчислювальні методи і прослідкувати за перевагами й недоліками кожного з них.
Практично таку ж точність, що і методи скінченних різниць (МСР) послідовних зміщень (МПЗ) і дає СОС, який видає на екран дисплею числові результати для будь-якої точки області. При цьому для використання стандартної програми розв’язування рівняння Лапласа в довільній області методом прискорених статистичних випробувань досить знань оператора ПЕОМ.
Розрахунки проводились на ЕОМ за допомогою програми визначення напружень у стержнях довільного поперечного перетину, написаній на алгоритмічній мові Pascal. Порівняння максимальних дотичних напружень, обчислених МСР і МСЕ, дало відносну похибку 38%, хоча значення функції напружень у внутрішніх точках були однакові.
Порівняння результатів обчислень за СОС та отриманих альтернативними методами дало підставу зробити такі основні висновки: СОС визначає значення функції напружень для будь-якої кількості довільно розміщених точок або в окремій точці; числові результати знаходяться у строгій відповідності з мембранною аналогією Прандтля. Відзначимо, що процедурні підготовки і введення інформації настільки прості, що для їх виконання не потрібно спеціальних знань.
Запропоновані алгоритми і програми комп’ютерного моделювання достатньо інформативні, тому їх можна успішно використовувати при розв’язуванні задач, математичною основою яких є рівняння еліптичного типу, що виникають в інших прикладних задачах, наприклад, під час розв’язуванні задач з гідродинаміки, теплопровідності, теорії пружності.
1. Сеничак В. М. Прогресивна інформаційна технологія дослідження напружено-деформованого стану пружних стержнів довільного перерізу / В. М. Сеничак // Сучасні проблеми математики : матеріали міжнар. наук. конф. Ч. 3. – К. : Ін-т математики НАН України, 1998.
– С. 77–79.
2. Сеничак В. М. Комп’ютерна діагностика температурних полів в областях складної форми / В. М. Сеничак // Математическое моделирование : сб. науч. тр. / НАН Украины, Ин-т математики. – К., 1996. – С. 209–212.
3. Сеничак В. М. Программа решения уравнения Пуассона в произвольной области методом ускоренных статистических испытаний / Сеничак В. М., Хомченко А. Н. ; ФАП ИПС АН Украины. – К., 1993. – 25 с. – инв. № П6412.
4. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЗВМ: Практическое руководство / Т. Шуп. – М., 1982. – 238 с.
За 2 500 років свого існування поняття про математику змінювалося і збагачувалося. Спочатку це була повністю практична дисципліна, пов’язана з обчисленнями. У древньому Єгипті за допомогою математичних розрахунків передбачали астрономічні події, проводили землемірні роботи, виділення і перерозподіл рівних земельних наділів сім’ям. У стародавньому Вавілоні розрахунки були достатньо розвиненими, математики вміли навіть розв’язувати квадратні рівняння і розумілися на позиційних системах числення. Але знання про них дійшли до європейців набагато пізніше, і не прямо, а через арабську математику, яку араби, у свою чергу, запозичили в древній Індії.
Великий внесок у розвиток математики здійснили греки. Загальновідомий вклад Евкліда в розвиток геометрії. Його аксіоматичним описом планіметрії користувалися математики впродовж багатьох століть, не дивлячись на те, що зараз у системі аксіом Евкліда знайдено неточності. Але його підхід до побудови наукової теорії (аксіоми – логіка – теореми) дає можливість здійснити аксіоматичну побудову будь-якого розділу науки, і в цьому головна особливість математики як науки. Грецьким математикам належить також ідея логічного доведення.
Практичні потреби людства стимулювали появу і розвиток інших розділів математики, які поступово абстрагувалися і ставали все більш теоретичними.
Необхідність складати і розв’язувати рівняння для різних потреб людини стимулювали появу різних розділів математичної науки – теорію функцій, диференціальне та інтегральне числення, теорію чисел, різні алгебри і т. д. Розділ математики, який займається створенням та обґрунтуванням численних алгоритмів для розв’язування складних задач різних галузей науки, дістав назву “прикладна математика”, головне завдання якої – знаходження розв’язку задачі чисельними методами із заданою точністю. В історії прикладної математики умовно можна виділити 3 етапи.
Перший етап почався 4 тисячі років тому і тривав до початку наукової діяльності І.Ньютона. Прогрес науки в той час був зумовлений необхідністю обчислювати площі та об’єми, конструюванням найпростіших механізмів, що стимулювало розвиток азів алгебри та геометрії на основі арифметики. Як не дивно, але точність обрахунків у ті давні часи була досить високою, тому що вихідні дані містили мало цифр і обчислення велися без заокруглень.
Другий етап розвитку прикладної математики починається з появи праць Ньютона, які дали можливість розв’язати задачі, що зводилися до звичайних диференціальних рівнянь та до системи алгебраїчних рівнянь. З ними були пов’язані практичні задачі з розрахунку механічних конструкцій, задачі геодезії та астрономії. На цьому етапі використовувалися різні обчислювальні засоби: таблиці, арифмометри, логарифмічна лінійка, які дуже пришвидшили процес обчислень і вплинули на точність результату. Але все ж таки обчислення були дуже довгими і займали інколи не тільки тижні, але й місяці. Перевірка правильності результату також була довгою.
З 40-х років ХХ століття починається третій етап розвитку прикладної математики, який триває дотепер. Великою мірою каталізатором стрімкого збільшення швидкості обчислювальних процесів став воєнно-промисловий комплекс. Їх задачі вимагали недоступних для людини швидкостей розрахунків і зумовили появу електронно-обчислювальних машин. Можливість проводити обчислення великого об’єму розширило можливості з розв’язку нового класу задач, у тому числі і в частинних похідних. Тому з появою ЕОМ пов’язані розробки нових чисельних методів, які оперують великою кількістю даних, а це є стимулом для подальшого розвитку прикладної математики [1].
За останні 50 років у “чистій” математиці відбувся надзвичайно могутній і складний для розуміння ривок вперед. Якщо вченим вдасться так само розвинути і прикладну математику, то її розвиток може вплинути на інші науки і навіть змінити наше уявлення про них. Математика розростається в ширину і в глибину, і різні її розділи проникають один в одного. Вчені вважають, що для вивчення вже означених математичних об’єктів потрібно сотні років. Обчислювальна математика все більше проникає в прикладну математику та інформатику (до речі, про останню, як науку, 30–40 років тому ніхто не знав), і математична мова цих наук стає все більш спільною. У зв’язку із цим змінюється трактування “сили математичного результату”. Чиста математика вивчає властивості математичних об’єктів, прикладна математика орієнтована на використання математичних обчислень за межами математичних дисциплін, в інших галузях науки і техніки, а інформатика займається реалізацією математичних розрахунків на ЕОМ. Однак не можна провести чітку межу між цими науками – вони все тісніше переплітаються в процесі свого розвитку. Прикладом такого розмежування на чисту і прикладну математику служить розповідь Б.Г.Міркіна, доктора технічних наук, професора про так звану малу теорему Ферма. У студентські роки він вважав її зразком абстрактної математики без найменших шансів на практичне застосування і говорив, що зміст цієї теореми виражає “нікому не потрібні властивості нікому не потрібних простих чисел”. Звичайно, тоді ніхто не міг припустити, що ця теорема стане основою електронної торгівлі, яка забезпечує безпеку кодування трансакцій при здійсненні купівлі-продажу через мережу Інтернет [2].
1. Калиткин Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. – М. : Наука, 1978. – 512 с.
2. Миркин Б. Г. История и методология прикладной математики и информатики / Б. Г. Миркин. – Режим доступу : http://www.scribd.com/doc/40147324/.
ФІЗИКА БІОЛОГІЯ, ЕКОЛОГІЯ
Відсутність шкідливих звичок – один з компонентів ЗСЖ. Пияцтво, куріння, вживання психотропних та наркотичних речовин значною мірою підривають як фізичне, так і психічне здоров’я людини, негативно впливають на соціальну адаптацію, активність, навчання, процеси мислення, уваги, пам’яті та ін.
[1]. Найпоширенішою шкідливою звичкою є вживання спиртних напоїв, а етиловий спирт є легкодоступним легалізованим наркотиком, який можна придбати в довільній кількості [2; 3].
Дані літератури щодо поширення пияцтва й алкоголізму (від 1,5 до 4% залежно від регіону України) [3] стосуються в основному людей зрілого віку і базуються на даних статистичних звітів наркологічних диспансерів. Однак далеко не всі хворі алкоголізмом звертаються за допомогою до спеціалістів, а якщо і звертаються, то в останній стадії захворювання, а тому вказані цифри фактично не відображають реальної ситуації. Дослідницький проект ESPAD [3] репрезентує учнівську молодь 15–17 років і спрямований, здебільшого, на з’ясування визначальних чинників стосовно першого залучення до вживання спиртного та впливу соціального оточення на поведінку підлітків.
Враховуючи вищесказане, з метою встановлення відношення до алкоголю студентської молоді проведено наше дослідження. Опитування проводили серед студентів заочної та денної форми навчання різних факультетів та інститутів нашого університету (250 осіб). Використовували метод анонімного тестування за Рязанцевим. Даний тест розроблений на основі 25-річної праці лікарянарколога, апробований у клініці, і є достатньо достовірним для проведення масових опитувань. У роботі використані матеріали опитування студентів, які навчалися у вузі в різні роки: I група – 2006 рік, II група – 2012 рік.
За результатами тестування виділено такі градації: “тверезники”, п’ють помірно, мають ознаки алкоголізму I-ї чи ІІ-ї стадії. Підрахунок проводили окремо для осіб чоловічої та жіночої статі.
«