WWW.UK.X-PDF.RU

БЕЗКОШТОВНА ЕЛЕКТРОННА БІБЛІОТЕКА - Книги, видання, автореферати

 
<< HOME
CONTACTS




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы

Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы
Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 15 |

«Вища математика Загальний курс Частина II Математичний аналіз і диференціальні рівняння Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих ...»

-- [ Страница 9 ] --

де iнтеграл, який стоїть справа у формулi (14), обчислюється, взагалi кажучи, простiше.

Зауважимо, що формула (14) є правильною й тодi, коли порушується взаємно-однозначна вiдповiднiсть мiж областями i D або умова (13) у скiнченнiй кiлькостi точок чи на скiнченнiй кiлькостi лiнiй областi.

У застосуваннях важливу роль вiдiграють полярнi координати:

<

–  –  –

Точне значення об’єму – це границя, до якої прямують iнтегральнi суми при здрiбненнi розбиття фiгури Q. Оскiльки при зроблених вище припущеннях вiдносно f i Q границя iнтегральних сум (18) iснує i дорiвнює подвiйному iнтегралу f (x, y)dxdy, то об’єм V криволiнiйного цилiндра, обмежеD ного знизу областю D, а зверху поверхнею z = f (x, y), де f неперервна функцiя, виражається подвiйним iнтегралом

–  –  –

Приклад 9. Знайти об’єм тiла, вирiзаного з кулi радiуса R, прямим круговим цилiндром дiаметра R, твiрна якого проходить через центр кулi.

Сумiстимо початок координат з центром кулi, спрямувавши вiсь Oz по твiрнiй цилiндра, а вiсь Ox – вздовж дiаметра основи цилiндра. Згiдно з симетрiєю тiла вiдносно координатних площин Oxy i Oxz досить знайти об’єм частини тiла, що знаходиться в першому октантi, i одержаний результат помножити на чотири. Скориставшись формулою (19), дiстанемо

–  –  –

1.4.2. Обчислення площi. Покладаючи в подвiйному iнтегралi пiдiнтегральну функцiю f (x, y) тотожно рiвною одиницi, f (x, y) = 1, (x; y) D, одержуємо iнтеград

–  –  –

1.4.3. Маса пластинки. Координати центра маси.

Розглянемо на площинi Oxy матерiальну пластинку, тобто деяку область D, по якiй розподiлена маса з густиною (x, y).

Вважатимемо, що – неперервна функцiя в областi D i обчислимо масу цiєї пластинки. Розiб’ємо деяким чином область D

–  –  –

Для того щоб одержати точне значення маси пластинки, перейдемо в цiй сумi до границi при 0, де – найбiльший з дiаметрiв областей Dk, k {1,..., n}. При цьому записана вище сума перейде у подвiйний iнтеграл, а тому маса пластинки визначається рiвнiстю

–  –  –

= 0 = = 0 32 + = 0.

–  –  –

3) y 2 = x, x2 = y.

6. Знайти моменти iнерцiї однорiдної фiгури, обмеженої лiнiями:

1) y = 2 x, x + y = 3, y = 0, вiдносно осi Ox; 2) кардоїдою r = a(1 + cos ), [0; 2], вiдносно осi Ox; 3) x + y = 2, x = 0, y = 0, вiдносно початку координат.

–  –  –

2.1. Означення потрiйного iнтеграла та його властивостi.

2.1.1. Задача про визначення маси тiла. Нехай в тривимiрному просторi R3 задано матерiальне тiло Q. Розглянемо деяку його елементарну частину Q, яка мiстить точку M (x; y; z). Вiдношення маси m цього малого тiла Q до його m об’єму v, тобто, називається середньою густиною тiла v m Q. Якщо iснує скiнченна границя вiдношення при умоv вi, що тiло Q стягується в точку M (x; y; z), то ця границя називається густиною в точцi M. Вона залежить вiд положення точки M, а тому є функцiєю точки або функцiєю її координат, тобто = (M ) або = (x, y, z).

Обчислимо масу m тiла Q, вважаючи, що густина в кожнiй точцi цього тiла є неперервною функцiєю. Якщо б тiло було однорiдним, тобто густина в кожнiй його точцi була б одна й та сама, що дорiвнює 0, то його маса m дорiвнювала б m = 0 v, де v – об’єм тiла Q. Оскiльки в загальному випадку густина змiнюється вiд точки до точки, то ця формула для обчислення маси непридатна. Тому скористаємося методом розбиття тiла Q на елементарнi частини, який ми неодноразово використовували ранiше.

Розiб’ємо тiло Q на n малих частин Qk, k {1,..., n} n так, що Q = Qk. У кожному тiлi Qk виберемо точку k=1 Mk (xk ; yk ; zk ). Якщо тiло Qk мале, то можна вважати, що густина у кожному з них змiнюється мало i майже не вiдрiзняється вiд густини k = (Mk ) = (xk, yk, zk ). Тому можна наближено визначити масу mk тiла Qk рiвнiстю

–  –  –

За точне значення маси m вiзьмемо границю цiєї суми, коли кожне з малих тiл Qk стягується в точку, тобто максимальний дiаметр = max d(Qk ) прямує до нуля, k{1,...,n}

–  –  –

Розв’язування задачi про знаходження маси тiла привело нас до вивчення границi певних iнтегральних сум. Оскiльки до знаходження границi сум такого вигляду зводиться багато задач геометрiї, фiзики, хiмiї i т.п., то природно вивчити властивостi границь таких сум у загальному виглядi, незалежно вiд тiєї або iншої задачi, що приведе нас до поняття потрiйного iнтеграла.

–  –  –

Ми бачимо, що потрiйний iнтеграл є узагальненням подвiйного iнтеграла на випадок, коли область iнтегрування мiститься в евклiдовому просторi R3. Як i у випадку подвiйного iнтеграла, має мiсце теорема iснування потрiйного iнтеграла, яку наведемо без доведення.

Теорема. Функцiя, яка неперервна в замкненiй кубовнiй областi, iнтегровна в цiй областi.

Потрiйний iнтеграл має тi самi властивостi, що й подвiйний iнтеграл.

1) Сталий множник можна виносити за знак потрiйного iнтеграла, тобто

–  –  –

де V (Q) – об’єм тiла Q.

Ця властивiсть називається теоремою про середнє значення.

6) Якщо функцiя f iнтегровна в областi Q, то i функцiя |f | також iнтегровна в Q i правильна нерiвнiсть

–  –  –

2.2. Обчислення потрiйного iнтеграла за допомогою повторного iнтегрування.

2.2.1. Обчислення потрiйного iнтеграла в декартових координатах. Обчислення потрiйного iнтеграла зводиться до послiдовного обчислення трьох визначених iнтегралiв.

Припустимо, що областю iнтегрування Q є тiло, яке обмежене знизу поверхнею z = z1 (x, y), зверху – поверхнею z = z2 (x, y), а з бокiв цилiндричною поверхнею. Нехай це тiло проектується на площину Oxy в область D, обмежену лiнiями y = y1 (x), y = y2 (x) (y1 (x) y2 (x)) i прямими x = a, x = b (a b) (рис. 1).

Проведемо через точку P (x; y; 0) областi D пряму, паралельну до осi Oz. Ця пряма зустрiне нижню поверхню z = z1 (x, y) в деякiй точцi M i верхню поверхню z = z2 (x, y) в точцi N. Точку M називають точкою входу, а точку N – точкою виходу, а їхнi аплiкати позначають вiдповiдно zвх = z1 (x, y) i zвих = z2 (x, y).

Якщо f (x, y, z) – неперервна функцiя в областi Q, то можна довести, що значення потрiйного iнтеграла визначається за формулою z2 (x,y)

–  –  –

= + = 0.

2.2.2. Замiна змiнних в потрiйному iнтегралi. Аналогiчно як i у випадку подвiйного iнтеграла, замiна змiнних в потрiйному iнтегралi f (x, y, z)dxdydz полягає у переходi Q вiд змiнних x, y, z до нових змiнних u, v, w за формулами

–  –  –

Згiдно з формулами (4) деякiй точцi (x; y; z) Q вiдповiдає точка (u; v; w), а кожна точка (u; v; w) переходить у деяку точку (x; y; z) Q. Iншими словами, функцiї (4) здiйснюють вiдображення областi R3 на область Q R3.

Вважатимемо, що вiдображення (4) задовольняє умови:

1) вiдображення (4) взаємно однозначне;

2) функцiї, i мають в областi неперервнi частиннi похiднi першого порядку;

3) якобiан вiдображення

–  –  –

Зауважимо, що формула (5) має мiсце й тодi, коли умова неперервностi пiдiнтегральної функцiї f i умови 1) – 3) для вiдображення (4) порушуються на множинi нульового об’єму, наприклад, в окремих точках, на лiнiях або на поверхнях.

Формули (4) можна розглядати як формули переходу до нових криволiнiйних координат (u, v, w) в областi Q. Поверхнi u = const, v = const, w = const є координатними поверхнями, взагалi кажучи, криволiнiйними в просторi (x, y, z). Кривi, на яких двi криволiнiйнi координати мають сталi значення, i змiнюється тiльки одна з координат, є координатними лiнiями.

Найпоширенiшими криволiнiйними координатами є цилiндричнi та сферичнi координати.

У випадку цилiндричних координат формули (4) мають вигляд x = r cos, y = r sin, z = z, 0 r +, 0 2, z +.

Якобiан цього вiдображення

–  –  –

z = 0, z = a.

Перейдемо до цилiндричних координат. Рiвняння цилiндра в цих координатах набуде вигляду r2 cos2 + r2 sin2 = 2r cos або r2 (cos2 + sin2 ) = 2r cos, тобто r = 2 cos. Отже, в областi Q

–  –  –


Купить саженцы и черенки винограда

Более 140 сортов столового винограда.


Приклад 6. Знайти центр маси однорiдного тiла, обмеженого параболоїдом обертання 2z = 4 x2 y 2 i площиною z = 0 (рис.

5).

Якщо врахувати симетричнiсть тiла вiдносно координатних площин Oxz i Oyz, то одержимо, що центр маси лежить на осi Oz

–  –  –

тобто складається з усiх точок (x; y), координати x i y яких задовольняють рiвняння (1). Вважатимемо, що функцiї i є неперервними на вiдрiзку [; ]. Нагадаємо, що крива L називається простою незамкненою кривою, якщо рiзним значенням параметра t [; ] вiдповiдають рiзнi точки M ((t); (t)) L. Якщо ж деякiй точцi M0 (x0 ; y0 ) L вiдповiдають рiзнi значення параметра t1 i t2, t1 = t2, {t1, t2 } [; ], тобто x0 = (t1 ) = (t2 ) i y0 = (t1 ) = (t2 ), то вона називається кратною. Проста незамкнена крива не має жодної кратної точки. Якщо початок кривої L – точка A((); ()) збiгається з її кiнцем – точкою B((); ()), а iншi точки не є кратними, то L називається простою замкненою кривою. Проста крива L називається спрямлюваною, якщо iснує скiнченна границя довжин ламаних, якi вписанi в криву, за умови, що довжини всiх ланок ламаних прямують до нуля. Ця границя називається довжиною кривої (лiнiї) L.

Аналогiчнi означення правильнi й для просторової кривої L, яка задана параметрично рiвняннями

x = (t), y = (t), z = (t), t [; ], (2)

в координатному просторi Oxyz.

Нехай L – проста спрямлювана i незамкнена крива, що задана рiвняннями (1), а f (x, y) – функцiя, яка визначена на цiй кривiй. Розiб’ємо вiдрiзок [; ] довiльним чином на n частин точками = t0 t1... tn =. При цьому лiнiя L розiб’ється так само на n частин точками M0 ((t0 ); (t0 )),

–  –  –

1.2. Обчислення криволiнiйного iнтеграла першого роду за допомогою визначеного iнтеграла.

Крива L, що задана рiвняннями (1), називається гладкою (кусково-гладкою), якщо функцiї i мають неперервнi (кусково-неперервнi) похiднi, якi одночасно не перетворюються в нуль на [; ] за винятком, можливо, скiнченного числа точок. Для такої кривої вiдомо, що вона спрямлювана i її довжина l знаходиться за формулою для будь-якої точки M0 L.

Теорема 1. Якщо L – кусково-гладка крива, задана рiвняннями (1), а функцiя f неперервна в точках кривої L, то iснує криволiнiйний iнтеграл (3) i правильна рiвнiсть

–  –  –

Доведемо рiвнiсть (5), вважаючи, що криволiнiйний iнтеграл першого роду вiд неперервної функцiї iснує.

Оскiльки кусково-гладка крива складається iз скiнченного числа гладких кривих, то надалi вважатимемо, що крива є гладкою i незамкненою.

Розiб’ємо вiдрiзок [; ] на n частин точками = t0 t1... tk1 tk... tn =. Йому вiдповiдає розбиття кривої L на n частин точками Mk ((tk ); (tk )), k {1,..., n}.

Знайдемо довжину lk дуги Mk1 Mk за допомогою формули (4) tk

–  –  –

бо з того, що 0 випливає, що 0.

Тому, згiдно з єдинiстю границi, дiстаємо рiвнiсть (5).

Зауваження. З формули (5) легко одержуються формули зведення криволiнiйного iнтеграла першого роду до визначеного iнтеграла, коли крива L задана рiвнянням y = y(x), x [a; b], або в полярних координатах рiвнянням r = r(), 1 2.

1) Нехай неперервна функцiя f (x, y) визначена на кривiй L, яка задана рiвнянням y = y(x), x [a; b]. Якщо функцiя y(x) неперервно диференцiйовна на [a; b], то має мiсце формула b

–  –  –

2) Якщо крива L задана в полярних координатах рiвнянням r = r(), [1 ; 2 ], i r() має неперервну похiдну на [1 ; 2 ], то для неперервної функцiї f (x, y), визначеної на кривiй L, правильна рiвнiсть

–  –  –

У випадку гладкої просторової кривої L, заданої параметричними рiвняннями (2), для неперервної функцiї f (x, y, z), яка визначена на L, правильна формула

–  –  –

1.3. Застосування криволiнiйних iнтегралiв першого роду. Нехай L – матерiальна плоска крива, тобто крива вздовж якої розподiленi маси з лiнiйною густиною (x, y). Тодi правильнi такi формули:

1) m = (x, y)dl – маса кривої;

L

–  –  –

§2. Криволiнiйнi iнтеграли другого роду

2.1. Означення криволiнiйного iнтеграла другого роду. Нехай AB проста спрямлювана i незамкнена крива на площинi Oxy, яка визначена параметричними рiвняннями

–  –  –

якi не залежать нi вiд розбиття, нi вiд вибору точки Nk на елементарнiй дузi Mk1 Mk, k {1,..., n}, то вони називаються криволiнiйним iнтегралом другого роду i позначаються вiдповiдно символом

–  –  –

Якщо крива AB є замкненою, тобто точка A збiгається з точкою B, то для неї iснує два напрямки обходу. Якщо область, яка лежить всерединi контура, залишається злiва вiдносно точки, що рухається по кривiй, то такий напрямок обходу контура L назвемо додатним, а протилежний до нього – вiд’ємним.

Iнтеграл (9) по замкненому контуру L в додатному напрямку позначають символом

–  –  –

i визначають як суму двох iнтегралiв по незамкнених контурах, якi утворюють L.

Аналогiчно визначається криволiнiйний iнтеграл другого роду P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz (10) AB для випадку просторової кривої, яка задана параметрично рiвняннями

–  –  –

де A((); (); ()), B((); (); ()).

2.2. Обчислення криволiнiйного iнтеграла другого роду за допомогою визначеного iнтеграла.

Теорема 2. Якщо AB – кусково-гладка крива, яка задана рiвняннями x = (t), y = (t), t [; ], а функцiї P (x, y) i Q(x, y) неперервнi вздовж кривої AB, то iснує iнтеграл (9) i правильна рiвнiсть Зауваження.

Криволiнiйнi iнтеграли другого порядку мають властивостi лiнiйностi й адитивностi, але теорема про оцiнку модуля iнтеграла i формула середнього значення неправильнi.

Приклад 1. Обчислити криволiнiйний iнтеграл другого роду (x2 2xy)dx + (y 2 2xy)dy, де L – парабола y = x2, x [1; 1] з L початком в точцi A(1; 1) i кiнцем B(1; 1).



Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 15 |
Похожие работы:

«МЕХАНІКА, ЕНЕРГЕТИКА, ЕКОЛОГІЯ 169 УДК 54.51 О.Ф. Хрустальов Севастопольський національний технічний університет Вул. Університетська, 33, г. Севастополь, 99053, Україна НЕОБХІДНО ВНЕСТИ ЯСНІСТЬ У статті звернено увагу на деякі помилки, які, на жаль, все ще мають місце в підручниках хімії для середньої і вищої школи. На прохання автора керівництвом Інституту інноваційних технологій і змісту освіти МОН України було проведено незалежну експертизу зазначеної статті, результати якої та відповіді на...»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ” МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до лабораторних робіт «Числові методи обробки результатів експерименту» з дисципліни «Обчислювальна техніка і програмування» для студентів спеціальності 6.090102 «Фізичне матеріалознавство» Затверджено редакційно-видавничою радою університету, протокол № 1 від 20.01.05 Харків НТУ «ХПІ» 2005 Методичні вказівки до лабораторних робіт «Числові методи обробки результатів...»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ Сумський державний університет Шосткинський інститут ТЕЗИ ДОПОВІДЕЙ ІХ відкритого студентського науково-практичного семінару кафедри ФЗНД Присвяченого 145-й річниці від дня народження Марії Склодовської-Кюрі (1867 – 1934) 14 березня 2012 року Шостка 2012 НАУКОВО-ІНФОРМАЦІЙНЕ Розглянуто та схвалено на засіданні ВИДАННЯ кафедри фундаментальних і загальнонаукових дисциплін протокол №7 від 1 березня 2012 р. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ КОМІТЕТ СЕМІНАРУ...»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ХАРЧОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ _ 78 МІЖНАРОДНА НАУКОВА КОНФЕРЕНЦІЯ МОЛОДИХ УЧЕНИХ, АСПІРАНТІВ І СТУДЕНТІВ «НАУКОВІ ЗДОБУТКИ МОЛОДІ — ВИРІШЕННЮ ПРОБЛЕМ ХАРЧУВАННЯ ЛЮДСТВА У XXI СТОЛІТТІ» ЧАСТИНА 1 2 – 3 квітня 2012 р. _ Київ НУХТ Програма і матеріали 78 міжнародної наукової конференції молодих учених, аспірантів і студентів «Наукові здобутки молоді — вирішенню проблем харчування людства у ХХІ столітті», 2 – 3 квітня 2012 р. —...»

«УДК 608.1:129:179.9 Тетяна Кучера, кандидат філософських наук, доцент кафедри філософії, ДВНЗ «Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана»БІОЕТИКА: ОГЛЯД НАЙАКТУАЛЬНІШИХ ПРОБЛЕМ Етика це відповідальність за все живе А. Швейцер Kuchera Tetyana, PhD in Philisophy, Docent at Philosophy Department of the Kyiv National Economic University named after Vadym Hetman. Bioethics: an overview of the most actual problems. Bioethics is the study about the moral side of human...»

«Житомирський державний університет імені Івана Франка НАУКОВИЙ пошук МОЛОДИХ ДОСЛІДНИКІВ ВИПУСК IV Житомир 2011 Ж и том и р ськ и й дер ж авни й ун івер си тет імені Івана Ф ранка. С туден тськ е наукове товар иство ф ізи к о-м атем ати чн ого ф акультету молодих НАУКОВИЙ ПОШУК ДОСЛІДНИКІВ Випуск IV Житомир Вид-во ЖДУ ім. І. Франка УДК 378.937 Н32 Рекомендовано вченою радою Ж итомирського держ авного університет у імені Івана Франка, протокол № 8 від 25 березня 2011 року РЕЦЕНЗЕНТИ: Сейко Н....»

«ун-т “Львів. політехніка”. – Л., 2014. – Бібліогр.: 2 назви. 8. Lisa Harris (2010) Community in the Electronic Classroom: Virtual Social Networks and Student Learning. VDM Verlag Dr. Mller. P. 304.9. Korz, R., Peleschyshyn, A., Syerov, Y., Fedushko, S. (2014). “The cataloging of virtual communities of education thematic.” Webology, 11(1), Article 117. Available at: http://www.webology.org/2014/v11n1/a117.pdf 10. Кудін А.П., Кархут В.Я., Франчук В.М. Інформаційно-комунікаційні технології та...»

««ЗАТВЕРДЖЕНО» Директор Сквирської ЗОШ І-ІІІ ступенів № 2_ В.С. Малиновська 01.11.2012 року ПЛАН РОБОТИ Сквирської ЗОШ І-ІІІ ступенів № 2 на 05-30 листопада 2012 року № Дата Зміст роботи Відповідальний Відм. про викон. Заходи відділу освіти Сквирської РДА Відкр.урок 08 листопада ШПМ К.А.Царик (географія) (ЗОШ № 2) К.А. Царик 1. РМО учителів початкових класів 3 клас (ЗОШ № 3) В.О. Вуйко 08 листопада 2. РМО учителів фізики (Чубинецький НВК) Н.Ю. Ліщук 09 листопада 3. ШПМ Л.А. Фартух та Р.В....»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ЧЕРКАСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ БОГДАНА ХМЕЛЬНИЦЬКОГО А. І. Кузьмінський, Н. А. Тарасенкова, І. М. Богатирьова, О. А. Коваленко, О. М. Коломієць, З. О. Сердюк, М. В. Третяк Я І МОЯ МАТЕМАТИКА ЗАОЧНІ МАТЕМАТИЧНІ СТУДІЇ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ Матеріали для самопідготовки учнів 7 класу Комплексне контрольне завдання № 1 ЧЕРКАСИ – 2013 ББК 22.151.0 УДК 514 (075) Я 11 Рецензенти: Демченко О. Г. – кандидат фізико-математичних наук, доцент, доцент кафедри математики...»

«ІІ ЗАГАЛЬНО УНІВЕРСИТЕТСЬКА СТУДЕНТСЬКА НАУКОВА КОНФЕРЕНЦІЯ ЗАСТОСУВАННЯ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ В ГАЛУЗІ ЗВ’ЯЗКУ-2006 13 березня 2006 року Київ ДУІКТ Міністерство транспорту та зв’язку України Міністерство освіти і науки України ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІНФОРМАЦІЙНО-КОМУНІКАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ Кафедра вищої математики ІІ ЗАГАЛЬНО УНІВЕРСИТЕТСЬКА СТУДЕНТСЬКА НАУКОВА КОНФЕРЕНЦІЯ ЗАСТОСУВАННЯ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ В ГАЛУЗІ ЗВ’ЯЗКУ 2006 13 березня 2006 року ПРАЦІ КОНФЕРЕНЦІЇ Київ ДУІКТ ПРОГРАМНИЙ КОМІТЕТ Голова –...»




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы


 
2013 www.uk.x-pdf.ru - «Безкоштовна електронна бібліотека»