WWW.UK.X-PDF.RU

БЕЗКОШТОВНА ЕЛЕКТРОННА БІБЛІОТЕКА - Книги, видання, автореферати

 
<< HOME
CONTACTS




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы

Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы
Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 15 |

«Вища математика Загальний курс Частина II Математичний аналіз і диференціальні рівняння Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих ...»

-- [ Страница 5 ] --

3) t = 10 год., то p (10) = 104 2 · 103 · 10 = 104 (1 2) = 1000.

Приклад 7. Вiд камiнця, який кинуто у воду, розходяться концентричнi хвилi.

З якою швидкiстю зростає площа, охоплена хвилею, у кiнцi другої секунди, якщо радiус зовнiшньої хвилi збiльшується зi швидкiстю 2 м/с.

Нехай x(t) – радiус хвилi у момент часу t. Тодi площа S, яка охоплена цiєю хвилею, визначається за формулою S(t) = x2. Швидкiсть зростання площi хвилi

–  –  –

2.2. Основнi теореми про диференцiйовнi функцiї. Застосування похiдної до дослiдження функцiй 2.2.1. Основнi теореми про диференцiйовнi функцiї. У цьому пунктi розглянемо властивостi диференцiйовних функцiй, якi часто використовуватимемо далi. Введемо спочатку поняття внутрiшньої точки множини. Точка x0 називається внутiршньою точкою множини X, якщо iснує -окiл цiєї точки (x0 ; x0 + ), який мiститься у множинi X.

Теорема 2 (теорема Ферма). Нехай у внутрiшнiй точцi x0 областi визначення X функцiя f досягає найбiльшого (найменшого) значення. Тодi, якщо iснує похiдна f (x0 ), то f (x0 ) = 0.

Припустимо, що, наприклад, f (x0 ) є найбiльшим значенням функцiї f. Оскiльки x0 є внутрiшньою точкою множини X, то iснує -окiл цiєї точки, який мiститься в X. Тому для довiльних достатньо малих приростiв аргументу x, маємо

–  –  –

З цих двох нерiвностей випливає, що f (x0 ) = 0.

Геометрично теорема Ферма означає, що в точках, де функцiя набуває найбiльшого або найменшого значення, дотична до графiка цiєї функцiї паралельна осi Ox.

Зауважимо, що умови теореми є iстотними. Якщо, наприклад, розглянути функцiю f (x) = |x|, x [1; 1], то вона в точцi x0 досягає найменшого значення, але f (0) = 0, бо похiдна f (0) не iснує (§1, п. 1.1.5). Отже, опустити вимогу, що f (x0 ) iснує не можна. Так само важливим є припущення, що точка x0 є внутрiшньою точкою областi визначення. Наприклад, для

–  –  –

1) Якщо m = M, то з цiєї нерiвностi одержуємо, що f (x) = m, тобто є сталою на [a; b], а тому f (x) = 0 в кожнiй точцi x [a; b]. У цьому випадку за точку можна взяти будь-яку точку з iнтервалу (a; b).

2) Якщо ж m M, то, згiдно з умовою теореми f (a) = f (b), принаймнi одна з точок x1 i x2 буде внутрiшньою точкою вiдрiзка [a; b]. Нехай цiєю точкою є x2. Тодi, застосувавши теорему Ферма, отримаємо, що f (x2 ) = 0 i, отже, за точку можна взяти x2.

Умова f (a) = f (b) в теоремi Ролля є iстотною. Наприклад, функцiя f (x) = x, x [0; 1], задовольняє всi умови теореми, крiм f (0) = f (1). Однак для всiх x [0; 1] похiдна f (x) = 1 i тому не iснує жодної точки (0; 1) у якiй f () = 0.

Теорема 4 (теорема Лагранжа). Якщо функцiя f визначена i диференцiйовна на вiдрiзку [a; b], то iснує точка (a; b) така, що

–  –  –

Наслiдок 1. Якщо функцiя f визначена на промiжку X i f (x) = 0, x X, то f є сталою на X.

Справдi, нехай x0 фiксована точка промiжку X. Тодi для довiльної точки x X згiдно з теоремою Лагранжа правильна рiвнiсть f (x) f (x0 ) = f ()(x x0 ) = 0, де (x0 ; x), якщо x x0, i (x; x0 ), якщо x x0. Звiдси випливає, що f (x) = f (x0 ) для довiльної точки x X, а це означає, що функцiя f стала на промiжку X.

Наслiдок 2. Нехай на промiжку X задано двi диференцiйовнi функцiї f1 i f2, причому f1 (x) = f2 (x), x X. Тодi iснує стала C така, що f2 (x) = f1 (x) + C, x X.

Оскiльки (f2 (x) f1 (x)) = f2 (x) f1 (x) = 0, x X, то з наслiдку 1 випливає, що f (x2 ) f (x1 ) = C, x X.

Теорема 5 (достатня умова зростання (спадання) функцiї). Якщо в усiх точках промiжку X похiдна f (x) 0 (f (x) 0), то функцiя f зростає (спадає) на X.

Нехай x1 i x2 довiльнi точки з промiжку, але такi, що x1 x2. Згiдно з теоремою 4 f (x2 ) f (x1 ) = f ()(x2 x1 ), де (x1 ; x2 ). Оскiльки f () 0(f () 0), то f (x2 ) f (x1 )(f (x2 ) f (x1 )), бо x2 x1. Це означає, що f зростає (спадає) на X.

Якщо на промiжку X похiдна f (x) 0 (f (x) 0), то функцiя f є неспадною (незростаючою) на X.

2.2.2. Екстремум функцiї. Функцiя f має в точцi x0 мiнiмум (максимум) якщо iснує окiл U (x0 ) цiєї точки, який мiститься в областi визначення X, такий, що для довiльного x U (x0 ) виконується нерiвнiсть f (x0 ) f (x) (f (x0 ) f (x)).

yT yT

–  –  –

Максимум i мiнiмум об’єднують спiльною назвою екстремум.

Теорема 6 (необхiдна умова екстремуму). Якщо функцiя f диференцiйовна в точцi x0 i має в цiй точцi екстремум, то f (x0 ) = 0.

Припустимо, що точка x0 є точкою максимуму. Тодi для неї iснує окiл (x0 ; x0 + ) X такий, що в точцi x0 f досягає найбiльшого значення у порiвняннi iз значеннями f в точках цього околу. Тому з теореми Ферма випливає, що f (x0 ) = 0.

Аналогiчно доводиться теорема i у випадку, коли x0 є точкою мiнiмуму функцiї f.

Ця теорема дає необхiдну умову екстремуму. Коренi рiвняння f (x) = 0 називаються критичними або стацiонарними точками функцiї f. До критичних точок належать також точки, в яких похiдна не iснує або нескiнченна, але функцiя в них визначена.

Наприклад, для функцiї f (x) = |x|, x R, критичною є точка x = 0 у якiй похiдна не iснує.

Приклад 9. Знайти критичнi точки функцiї y = x3, x R.

Маємо y = 3x2. Тoдi з рiвняння 3x2 = 0 знаходимо, що x = 0.

Отже, точка x0 = 0 є критичною, але в цiй точцi функцiя не має екстремуму, бо вона зростає на R.

З цього прикладу випливає, що треба ще знати достатнi умови екстремуму.

Теорема 7 (достатнi умови екстремуму). Якщо x0 – критична точка функцiї f i в деякому околi цiєї точки злiва й справа вiд неї похiдна f (x) має протилежнi знаки, то в точцi x0 функцiя f має екстремум, причому:

1) максимум, якщо f (x) 0 при x x0 i f (x) 0 при x x0 ;

2) мiнiмум, якщо f (x) 0 при x x0 i f (x) 0 при x x0.

Якщо ж похiдна не змiнює знаку при переходi через точку x0, то в цiй точцi функцiя екстремуму не має.

Якщо f (x) 0 (f (x) 0) при x x0 i f (x) 0 (f (x) 0) при x x0, то це означає, що злiва вiд точки x0 функцiя зростає (спадає), а справа вiд неї – спадає (зростає), тому f (x0 ) є найбiльшим (найменшим) у деякому околi точки

–  –  –

.

4 Сформулюємо iншi достатнi умови екстремуму.

Теорема 8. Якщо функцiя f двiчi неперервно диференцiйовна в околi точки x0, тобто iснує друга похiдна f (x), яка неперервна в цьому околi, f (x0 ) = 0, а f (x0 ) = 0, то в цiй точцi функцiя f має екстремум, а саме: 1) максимум, якщо f (x0 ) 0; 2) мiнiмум, якщо f (x0 ) 0.

Нехай f (x0 ) = 0, a f (x0 ) 0. Оскiльки f неперервна в околi точки x0 i f (x0 ) 0, то вона є вiд’ємною i в деякому околi точки x0, а це означає, що f спадає в цьому околi. Згiдно

–  –  –

промiжку [0; 4]. Оскiльки y(0) = 1, y(1) = 3, y(3) = 1, y(4) = 3, то max y(x) = 3, min y(x) = 1.

x[0;4] x[0;4] Приклад 13. У рiвнобедренний трикутник з довжинами сторiн 15 см, 15 см i 18 см вписано паралелограм найбiльшої площi так, що

–  –  –

Отже, паралелограм AKLM буде найбiльшої площi тодi, коли його сторони дорiвнюють вiдповiдно 7,5 см i 9 см.

2.2.4. Напрямок опуклостi графiка функцiї. Точка перегину. Графiк диференцiйовної функцiї називається опуклим догори (донизу) на промiжку X, якщо в цьому промiжку вiн розмiщений нижче (вище) довiльної своєї дотичної. На рис. 1 а), б) вiдповiдно показано графiки функцiй опуклих догори та донизу.

Достатнi умови опуклостi графiка функцiї дає така теорема.

yT yT <

–  –  –

З цього означення випливає, що точки перегину – це точки екстремуму першої похiдної.

У точцi перегину дотична перетинає графiк функцiї, оскiльки вiн переходить з одного боку дотичної на другий, тобто перегинається через неї.

Доведено, що коли функцiя f двiчi диференцiйовна на промiжку X i її графiк має перегин в точцi (x0 ; f (x0 )), x0 X, то f (x0 ) = 0. Умова рiвностi нулю другої похiдної в точцi x0 називається необхiдною умовою перегину.

Достатня умова перегину функцiї f в точцi M0 (x0 ; f (x0 )) дається такою теоремою.

Теорема 10. Якщо для функцiї f друга похiдна f у деякiй точцi x0 перетворюється в нуль, а при переходi через цю точку змiнює знак на протилежний, то точка M0 (x0 ; f (x0 )) є точкою перегину графiка функцiї.


Купить саженцы и черенки винограда

Более 140 сортов столового винограда.


Приклад 14. Знайти точки екстремуму i перегину функцiї y = 2 ex та побудувати її графiк.

Послiдовно знаходимо: y = 2xex, y = (4x2 2)ex Очевидно, що y (x) = 0 в точцi x = 0. Оскiльки y (0) = 2 0, то в точцi x = 0 функцiя має максимум i ymax = y(0) = 1.

–  –  –

перегин, оскiльки при переходi через точку M1 графiк функцiї змiнює напрямок опуклостi донизу злiва на опуклiсть догори справа, а через точку M2 – опуклiсть догори злiва на опуклiсть донизу справа.

2.2.5. Асимптоти графiка функцiї. Можливi ситуацiї, коли графiк функцiї як завгодно близько наближається до певної прямої. Таку пряму називають асимптотою. Розрiзняють три види асимптот: вертикальнi, горизонтальнi та похилi.

Вертикальна асимптота. Пряма x = a є вертикальною асимптотою графiка функцiї y = f (x), якщо f визначена в деякому околi точки a або принаймнi в одному з пiвоколiв, за винятком, можливо, самої точки a, й хоча б одна з однобiчних границь дорiвнює нескiнченностi, тобто

–  –  –

Очевидно, що пряма x = a не може бути вертикальною асимптотою, якщо функцiя неперервна в точцi a, оскiльки lim f (x) = f (a). Отже, графiк функцiї, яка неперервна на всiй xa числовiй осi, вертикальних асимптот не має. Тому вертикальнi асимптоти x = a треба шукати в точках розриву функцiї f або на кiнцях її областi визначення.

Приклад 15. Знайти вертикальну асимптоту графiка функцiї 1 y = x.

Якщо x = 0, то функцiя неперервна, i тому вертикальної асимптоти немає. Вона можлива в точцi розриву x = 0. Очевид

–  –  –

Похила асимптота. Нехай, функцiя f визначена при досить великих x. Пряма y = kx + b називається похилою асимптотою графiка функцiї при x + (x ), якщо

–  –  –

Отже, похилою асимптотою є пряма y = x.

2.2.6. Загальна схема дослiдження функцiй та побудова їхнiх графiкiв. Користуються такою схемою дослiдження функцiї:

1) знаходять область визначення, промiжки неперервностi та точки розриву;

2) дослiджують функцiю на парнiсть, непарнiсть i перiодичнiсть;

3) знаходять асимптоти;

4) знаходять промiжки монотонностi функцiї, точки екстремуму;

<

–  –  –

У точцi (0; 0) графiк функцiї має перегин.

6) Графiк функцiї перетинає осi координат в точцi (0; 0).

7) Зведемо усю одержану iнформацiю в таблицю

–  –  –

Розкрити невизначенiсть означає, що треба обчислити границю f (x) lim, якщо вона iснує, або довести, що вона не iснує.

xx0 g(x) Наступна теорема дає правило розкриття невизначеностей вигляду 0.

–  –  –

Невизначеностi вигляду 00, 1, 0, якi виникають при знаходженнi границi функцiї y = u(x)v(x) зводяться до невизначеностi 0 · за допомогою тотожного перетворення

–  –  –

2.2.8. Формула Тейлора. Розглянемо спочатку многочлен P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 +... + an xn (24) i задачу про розклад цього многочлена за степенями x x0, де x0 – деяке число. Цю задачу можна розв’язати, якщо скористатися тотожнiстю x x0 + (x x0 ). Можна це зробити по iншому. Нехай

–  –  –

є шуканим розкладом, коефiцiєнти якого A1, A2,..., An треба знайти. Покладаючи в тотожностi (25) x = x0, дiстаємо, що P (x0 ) = A0, тобто A0 = P (x0 ).

Диференцiюючи (25), маємо

–  –  –

де за означенням P (0) (x) = P (x) i 0! = 1.

Формулу (26) можна строго довести методом математичної iндукцiї.

Пiдставляючи коефiцiєнти (26) в розклад (25), дiстаємо формулу Тейлора для многочлена

–  –  –

неможливо. Тому знайдемо y наближено. При цьому, як випливає з формули Тейлора (31) при n = 2, помилка буде тим меншою, чим менше максимальне значення f (3) (x) на промiжку, що мiстить всi x1, x2,..., xn. Замiнимо f (x) її другим многочленом Тейлора в точцi a:

–  –  –

Приклад 26. Для чисел x1, x2,..., xn вiдомi середнє арифметичне a = 2 i середнє квадратичне вiдхилення = 0, 1. Знайти наближено суму кубiв x3 + x3 +... + x3.

–  –  –

1. Функцiя сукупних витрат має вигляд y = 6 lg(1 + 3x).Знайти функцiю граничних витрат.

2. Залежнiсть мiж витратами виробництва y (гр. од.) i обсягом виготовленої продукцiї x (од.) виражається функцiєю y = 10x 0, 04x3. Знайти середнi та граничнi витрати, якщо обсяг продукцiї становить 5 од.

–  –  –

ки.

12. Насос подає воду в цилiндричний бак, дiаметр якого 6 дм.

Висота пiдйому води збiльшується на 1 дм за секунду. Знайти швидкiсть наповнення бака.

13. Рiст популяцiї бактерiй визначається формулою p(t) = 3000+ 100t2, де t – час у годинах. Знайти швидкiсть росту цiєї популяцiї у момент часу t1 = 5 годин i t2 = 10 годин.

14. Знайти точки перегину й iнтервали опуклостi графiка функцiї: 1)f (x) = x5 + 5x 6; 2)f (x) = xex ; 3)f (x) = 2x2 + ln x;

4)f (x) = (x 4)5 + 4x + 4; 5)f (x) = ex.

15. Провести дослiдження та побудувати графiк функцiї:

1)f (x) = x3 3x; 2)f (x) = x2 + x; 3)f (x) = (2 + x)ex ; 4)y = x + 4x2 ;

5)f (x) = x + x2.

16. У поживне середовище помiщають популяцiю з 1000 бактерiй.

100t Кiлькiсть популяцiї зростає за формулою p(t) = 1000 +, де t 100 + t2

– час, що виражається в годинах. Знайти максимальний розмiр цiєї популяцiї.

17. Швидкiсть росту популяцiї x визначається формулою y = 0, 001x(100 x), де x виражається у днях. При якому розмiрi популяцiї ця швидкiсть є максимальною?

18. Дрiжджi ростуть у цукровому розчинi, причому їхня маса збiльшується на 3% за кожну годину. Якщо початкова маса складає 1 г, то маса через t годин дорiвнюватиме (t) = 1, 03t. Знайти швидкiсть змiни (t) при: 1) t = 1 год.; 2) t = 2 год.; 3) t = 5 год.

19. Реакцiї органiзму на два типи лiкiв як функцiї t (час виражається в годинах) мають вiдповiдно вигляд r1 (t) = tet i r2 (t) = t2 et. У яких з цих лiкiв вища максимальна реакцiя? Якi з цих лiкiв повiльнiшi у своєму впливовi?



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 15 |
Похожие работы:

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна З. З. Зиман, М. В. Ткаченко, В. І. Глушко, Л. П. Подус МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ СПЕЦПРАКТИКУМУ З МІКРОСКОПІЇ, СПЕКТРОСКОПІЇ ТА ТЕРМІЧНОГО АНАЛІЗУ ТВЕРДИХ ТІЛ ХАРКІВ 2008 УДК 538.9:539.3+548.5(075.8) ББК 22.37я73 Б15 Рекомендовано до друку науково-методичною радою Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна (протокол № від.2008 р.) Рецензенти: доктор фізико-математичних наук,...»

«Київський національний університет імені Тараса Шевченка МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ З КУРСУ “ЗАГАЛЬНА ФІЗИКА” (Розділ “Оптика”. Частина перша) Упорядники: В.І. Кисленко В.М. Стецюк І.М. Халімонова Н.П. Харченко Київ Видавничий центр “Київський університет” Лабораторна робота 4.1. ВИЗНАЧЕННЯ ХАРАКТЕРИСТИК ЦЕНТРОВАНИХ ОПТИЧНИХ СИСТЕМ ТА ЇХ ЕЛЕМЕНТІВ Мета роботи: ознайомлення з деякими сучасними методами оптичних вимірювань і набуття навичок юстування лінз, об’єктивів, телескопів та...»

«1.ПІБ Косенко Сергій Ілліч 2. Назва Каскадна параметризація розподілу за множинністю в непружних p p та ррвзаємодіях в інтервалі енергій в с.ц.м. s = 20 1800 ГеВ 3. Спеціальність 01.04.16-фізика атомного ядра, елементарних частинок високих енергій 4. Місце роботи Одеський національний політехнічний університет 5. Де виконана дисертація Одеський національний політехнічний університет 6. Науковий керівник Русов Віталій Данилович, д.ф-м.н., професор 7. Опоненти Прокопець Геннадій Олександрович,...»

«III International Workshop „Medical physics – the current status, problems, the way of development. Innovation technologies” Workshop proceedings June 06 – 07, 2013, Kyiv, Ukraine UDC 3; 009; 33; 37; 159.9; 664; 624; 61; 007; 52; 504; 800; 002; 51; 53; 57. Medical physics – the current status, problems, the way of development. Innovation technologies. Proceedings of 3rd International Workshop, June 06 – 07, 2013, Kyiv, Taras Shevchenko National University of Kyiv, 2013. – 186 p. The published...»

«Частина ІІІ. Інноваційні підходи до реалізації змістової та організаційно-управлінської функцій в сучасних підручниках. УДК 371.3:53 Л. С. Недбаєвська Миколаївський державний університет імені В.О. Сухомлинського МЕТОДИКА ВИКОРИСТАННЯ СТРУКТУРНО-ЛОГІЧНИХ СХЕМ ДЛЯ УЗАГАЛЬНЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЇ ЗНАНЬ У статті розглядається методика використання абстрактної наочності у вигляді графічних схем навчального матеріалу при проведенні узагальнення і систематизації знань. Ця методика розкрита на прикладі...»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ ХАРКІВСЬКОЇ ОБЛАСНОЇ ДЕРЖАВНОЇ АДМІНІСТРАЦІЇ ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ХАРЧУВАННЯ ТА ТОРГІВЛІ Програма Всеукраїнської науково-практичної конференції «ПРОБЛЕМИ ЕНЕРГОЕФЕКТИВНОСТІ ТА ЯКОСТІ В ПРОЦЕСАХ СУШІННЯ ХАРЧОВОЇ СИРОВИНИ» 3-4 листопада 2011р. Харків МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ ХАРКІВСЬКОЇ ОБЛАСНОЇ ДЕРЖАВНОЇ АДМІНІСТРАЦІЇ ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ...»

«ІНСТИТУТ РЕГІОНАЛЬНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ НАН УКРАЇНИ у 2011 році Львів – 2012 Інститут регіональних досліджень НАН України у 2011 році: Інформаційне видання. – Львів, 2012. – 88. с. Видання містить інформацію про напрями та тематику досліджень, наукові публікації та основні результати діяльності Інституту регіональних досліджень Національної академії наук України у 2011 р. Для економістів, науковців, працівників органів державної влади та місцевого самоврядування, а також всіх, хто цікавиться...»

«РОЗДІЛ I. Географія. № 11, 2014 6. Ільїн Л. В. Озера України : довідник / Л. В. Ільїн, В. О. Мартинюк. – Львів : РВВ Львів. держ. ун-ту, 1998. – 52 с. 7. Ільїн Л. В. Лімнокомплекси Українського Полісся : монографія : у 2-х т. Т. 1 : Природничо-географічні основи дослідження та регіональні закономірності / Л. В. Ільїн. – Луцьк : РВВ «Вежа» Волин. нац. ун-ту ім. Лесі Українки, 2008. – 316 с.8. Маринич О. М. Удосконалена схема фізико-географічного районування України / [О. М. Маринич, Г. О....»

«Львівський регіональний інститут державного управління Національної академії державного управління при Президентові України В.П. Новосад, С.М. Ромашко Методичні вказівки до модуля Сучасні інформаційні технології в державному управлінні Частина 1. Вступ. Інформаційні технології та системи. Програмне забезпечення Львів УДК 621.363.6 Рецензенти: Матвіїшин Є.Г. кандидат економічних наук, доцент, перший заступник директора Львівського регіонального інституту державного управління Національної...»

«2224-087X. Електроніка та інформаційні технології. 2012. Випуск 2. С. 45– Electronics and information technologies. 2012. Issue 2. P. 45–50 УДК:535.37, 621.315.592 ВПЛИВ ПОВЕРХНІ НАНОКРИСТАЛІВ CdS НА ЇХНІ ЛЮМІНЕСЦЕНТНІ ВЛАСТИВОСТІ В. Сминтина, Б. Семененко, В. Скобєєва, М. Малушин Одеський національний університет імені І.І. Мечникова, вул. Дворянська, 2, 65026 Одеса, Україна e-mail: semenenkobogdan@rambler.ru Однією з особливостей кристалів, що мають нанорозмірний розмір та ізольовані в...»




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы


 
2013 www.uk.x-pdf.ru - «Безкоштовна електронна бібліотека»