WWW.UK.X-PDF.RU

БЕЗКОШТОВНА ЕЛЕКТРОННА БІБЛІОТЕКА - Книги, видання, автореферати

 
<< HOME
CONTACTS




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы

Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы
Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 15 |

«Вища математика Загальний курс Частина II Математичний аналіз і диференціальні рівняння Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих ...»

-- [ Страница 4 ] --

Якщо A = 0, то доданок Ax перестає бути головною частиною приросту y, бо вiн дорiвнює нулю, тодi як (x)x =

0. Прийнято вважати, що й в цьому випадку диференцiал визначається формулою (7), тобто dy = 0.

Оскiльки A = f (x0 ), то формулу (7) можна записати у виглядi dy = f (x0 )x. (8) Очевидно, що dy, взагалi кажучи, не дорiвнює приросту функцiї y.

Введемо поняття диференцiала dx незалежної змiнної x.

Пiд диференцiалом dx незалежної змiнної x розумiтимемо довiльне незалежне вiд x число. Домовимося за число dx брати прирiст x незалежної змiнної x. Ця домовленiсть оправдана тим, що коли розглядати незалежну змiнну x як функцiю вигляду y = x, то для неї dy = dx = 1 x. Звiдси випливає, що формулу (8) можна переписати у виглядi

–  –  –

= 0, 5 0, 01511 = 0, 48489.

1.3. Основнi правила диференцiювання.

Теорема 3. Якщо функцiї u = u(x) i v = v(x) диференцiйовнi в точцi x, то сума, рiзниця, добуток i частка цих функцiй (частка за умови, що v(x) = 0) також диференцiйовнi в цiй точцi, причому правильнi формули (u(x) ± v(x)) = u (x) ± v (x),

–  –  –

Решта рiвностей з (11) доводиться аналогiчно.

1.4. Обчислення похiдних тригонометричних, логарифмiчної та показникової функцiй.

1.4.1. Похiднi тригонометричних функцiй.

1) Похiдна функцiї y = sin x, x R, визначається формулою

–  –  –

1.5. Похiдна оберненої функцiї. Обчислення похiдних обернених тригонометричних функцiї.

Теорема 4. Нехай функцiя y = f (x) у деякому околi точки x0 зростає (спадає) i неперервна.

Нехай, крiм того, функцiя y = f (x) диференцiйовна в точцi x0 i f (x0 ) = 0. Тодi iснує обернена функцiя x = f 1 (y), яка визначена i строго монотонна у деякому околi точки y0 = f (x0 ), диференцiйовна в цiй точцi i правильна рiвнiсть

–  –  –

Тепер застосуємо цю теорему для знаходження похiдної вiд обернених тригонометричних функцiй.

1) Похiдна функцiї y = arcsin x. Задана функцiя визначена на iнтервалi 1 x 1 i є оберненою для функцiї x = sin y, яка визначена на iнтервалi y. Оскiльки для функцiї x = sin y в околi довiльної точки y ( ; ) виконуються умови теореми 4, то функцiя y = arcsin x диференцiйовна в довiльнiй точцi x = sin y i правильна формула

–  –  –

1.6. Диференцiювання складеної функцiї.

Теорема 5. Нехай функцiя x = (t) диференцiйовна у точцi t0, а функцiя y = f (x) диференцiйовна у вiдповiднiй точцi x0 = (t0 ).

Тодi складена функцiя f ((t)) диференцiйовна у точцi t0, причому правильна рiвнiсть

–  –  –

Надамо аргументу t в точцi t0 довiльного приросту t =

0. Йому вiдповiдає прирiст x функцiї x = (t). Приросту x у свою чергу вiдповiдає прирiст y функцiї y = f (x) в точцi x0. Оскiльки функцiя y = f (x) диференцiйовна, то її прирiст в точцi x0 можна подати у виглядi

–  –  –

Зауваження 1. У теоремi 5 розглянута складена функцiя, де y залежить вiд t через промiжну змiнну x. Можлива складнiша залежнiсть, коли є двi, три або бiльше промiжних змiнних. Правило диференцiювання залишається тим самим i в цьому випадку.

Наприклад, якщо y = f (x) де x = (u) а u = (v) i v = (t), то похiдну y (t) треба знаходити за формулою

–  –  –

1.7. Логарифмiчна похiдна. Похiдна степеневої функцiї з довiльним дiйсним показником. Таблиця похiдних найпростiших елементарних функцiй.

1.7.1. Поняття логарифмiчної похiдної. Нехай функцiя y = f (x) додатна i диференцiйовна в точцi x. Тодi в цiй точцi iснує ln y = ln f (x). Розглядаючи ln f (x) як складену функцiю аргументу x, можна знайти похiдну цiєї функцiї у точцi x, беручи y = f (x) за промiжний аргумент:

y (ln f (x)) =. (17) y Величина, яка визначається формулою (17), називається логарифмiчною похiдною.

Приклад 8. За допомогою логарифмiчної похiдної знайти похiдну степенево-показникової функцiї y = u(x)v(x), де u(x) 0 i u(x) та v(x) диференцiйовнi в точцi x.

Оскiльки ln y = v(x) ln u(x), то скориставшись формулою (17), дiстанемо

–  –  –

Приклад 9. Обчислити похiдну функцiї y = xx, x 0.

Задану функцiю можна подати у виглядi y = u(x)v(x), де u(x) = x i v(x) = x. За допомогою формули (18) знаходимо

–  –  –

Приклад 10. Нехай K(t) = K0 (t + 1) 2, де t – число рокiв вiд вiдкриття вкладу, K0 – величина початкового вкладу. Знайти як змiнювалась ставка вiдсотка r = r(t).

Маємо

–  –  –

X, є функцiєю, яка також визначена на цьому промiжку. Може трапитися, що функцiя f (x) є диференцiйовною у точцi x X, тобто має в нiй похiдну. Цю похiдну називають другою похiдною (похiдною другого порядку) функцiї y = f (x) у точцi x i позначають символом f (2) (x) (f (x), y (x), y (2) (x)).

Послiдовно можна ввести поняття похiдної третього, четвертого i т.д. порядкiв, тобто

y (n) (x) = (y n1 (x)).

Друга похiдна має певний фiзичний змiст. Якщо y = f (x) описує закон руху матерiальної точки вздовж прямої, то перша похiдна f (x) є миттєвою швидкiстю точки в момент часу x, а друга похiдна – швидкiстю змiни швидкостi, тобто прискоренням рухомої точки в даний момент.

1.8.2. Формули для n-них похiдних деяких функцiй.

1) Знайдемо n-ну похiдну степеневої функцiї y = x, x 0, R. Послiдовно диференцiюючи, отримуємо

–  –  –

2) Знайдемо n-ну похiдну показникової функцiї y = ax, x R, 0 a = 1. Послiдовно диференцiюючи, одержуємо y = ax ln a, y (2) = ax (ln a)2, y (3) = ax (ln a)3,...,y (n) = ax (ln a)n, x R.

Зокрема, якщо y = ex, то для довiльного n одержимо, що x )(n) = ex, x R.

(e

3) Знайдемо n-ну похiдну функцiї y = sin x, x R. Послiдовно диференцiюючи, отримуємо y = cos x = sin(x + ),

–  –  –

y (2) = u(2) (x)v(x) + 2u (x)v (x) + u(x)v (2) (x), y (3) = u(3) (x)v(x)+u(2) (x)v (x)+2u(2) (x)v (x)++2u(2) (x)v (2) (x)+ +u (x)v (2) (x) + u(x)v (3) (x) = u(3) (x)v(x) + 3u(2) (x)v (x)+ +3u (x)v (2) (x) + u(x)v (3) (x).

Правi частини одержаних рiвностей подiбнi на розклад рiзних степенiв бiнома (u + v)n за формулою Ньютона, але замiсть показникiв степеня маємо числа, якi визначають порядок похiдних, а самi функцiї u i v можна розглядати як похiднi нульового порядку u(0) (x) i v (0) (x). Враховуючи це, запишемо загальний вигляд n-ої похiдної добутку двох функцiй:

y (n) (x) = (u(x)v(x))(n) = u(n) (x)v(x) + nu(n1) (x)v (x)+

–  –  –

Формулу (19) називають формулою Лейбнiца. Строге доведення даної формули проводиться методом математичної iндукцiї.

Приклад 11. Знайти п’яту похiдну функцiї y = x5 ex.

Нехай u(x) = x5, v(x) = ex, тодi u (x) = 5x4, u(2) (x) = 20x3 ;

u (x) = 60x2, u(4) (x) = 120x; u(5) (x) = 120; v (x) = v (2) (x) = (3) v (3) (x) = v (4) (x) = v (5) (x) = ex. Пiдставляючи цi вирази у формулу (19) при n = 5, дiстаємо

–  –  –

який назвемо диференцiалом першого порядку, є функцiєю змiнних x i dx. Нехай функцiя f (x) у свою чергу диференцiйовна у деякiй точцi x. Розглядатимемо dx у виразi для dy як сталий множник. Тодi (dy) = (f (x)dx) = (f (x)dx) x = f (x)dxx.

Диференцiал (dy) вiд диференцiала dy в точцi x, взятий при x = dx, називається диференцiалом другого порядку функцiї f у точцi x i позначається символом d2 y, тобто

–  –  –

У свою чергу диференцiал (d2 y) вiд диференцiала d2 y, взятий при x = dx, називається диференцiалом третього порядку функцiї f i позначається символом d3 y, i т.д.

–  –  –

Приклад 12. Знайти диференцiал d y функцiї y = x 3x + 4.

Знайдемо спочатку третю похiдну. Маємо y = 4x3 6x, y = 12x 6, y (3) = 24x. Тодi згiдно з формулою (20) 2

–  –  –

1.9. Похiдна функцiї, яка задана параметрично. До цих пiр розглядались рiвняння лiнiй на площинi, якi зв’зують мiж собою координати точок цих лiнiй. Часто застосовують iнший спосiб задання лiнiї, де змiннi координати x i y є функцiями третьої змiнної t,

–  –  –


Купить саженцы и черенки винограда

Более 140 сортов столового винограда.


Якщо функцiя з (21) не має оберненої, але iснує обернена для функцiї, то t = 1 (y), y Y, де Y – множина значень функцiї. Тодi, аналогiчно як i вище, одержимо складену

–  –  –

У ньому кожному дiйсному значенню x вiдповiдає єдине значення y таке, що коли пiдставити цi значення x i y в рiвняння (26), то дiстанемо правильну рiвнiсть. Наприклад, значенню x = 0 вiдповiдає значення y = 0, оскiльки при пiдстановцi цих значень x i y в рiвняння (26) ми дiстанемо тотожнiсть 50 02 1 = 0. Аналогiчно значенню x = 2 вiдповiдає значення y = 1 i т.д. Це означає, що за допомогою рiвняння (26) задана функцiя, областю визначення якої є вся числова вiсь, а множиною значень – множина всiх невiд’ємних чисел. Ця функцiя називається неявною.

Нехай в загальному випадку задано рiвняння

–  –  –

де F (x, y) – функцiя двох змiнних. Якщо кожному значенню x X вiдповiдає єдине значення y, яке разом з x задовольняє рiвняння (27), то кажуть, що це рiвняння визначає на множинi X неявну функцiю y = (x).

Отже, для неявної функцiї y = (x), заданої рiвнянням (27), правильна рiвнiсть

–  –  –

Ця функцiя є явною. Очевидно, що це та сама функцiя, яка задана рiвнянням (26). Пiдставивши (26 ) у рiвняння (26), дiстанемо тотожнiсть 2 +1) 5log5 (x x2 1 = x2 + 1 x2 1 = 0.

У деяких випадках кожному значенню x X вiдповiдає декiлька значень y, якi задовольняють разом з даним x рiвняння (27). Тодi це рiвняння визначає не одну, а декiлька неявних функцiй. Наприклад, рiвняння x2 +y 2 1 = 0 визначає двi неявнi функцiї, якi можна записати у явному виглядi, розв’язавши рiвняння x2 + y 2 1 = 0 вiдносно y:

1 x2, y = 1 x2.

y= Не кожну неявну функцiю можна подати у виглядi явної елементарної функцiї. Наприклад, рiвняння 5y 5y + x2 1 = 0 визначає неявну функцiю, але це рiвняння не можна розв’язати вiдносно y так, щоб y виражалося через елементарнi функцiї аргументу x. Не всяке рiвняння F (x, y) = 0 визначає неявну функцiю. Наприклад, рiвняння x2 +y 2 +1 = 0 не задовольняють жоднi дiйснi значення x i y, i, отже, воно не визначає жодної неявної функцiї.

Розглянемо на конкретних прикладах правило знаходження похiдної вiд неявної функцiї.

Приклад 17. Знайти похiдну неявної функцiї y, яка визначається рiвнянням Кеплера y sin y = x, де 1 – деяке додатне число.

Задане рiвняння не можна розв’язати вiдносно y за допомогою елементарних функцiй, хоча воно має при кожному фiксованому x єдиний розв’язок y. Для знаходження похiдної y (x) скористаємося прийомом, який часто використовується. Оскiльки функцiя y = y(x) є розв’язком рiвняння Кеплера, то пiдставивши її в це рiвняння, дiстанемо правильну рiвнiсть y(x) sin y(x) = x, x R.

Продиференцiюємо обидвi частини цiєї рiвностi по x

–  –  –

Знайдемо тепер значення похiдної y при x = 2 i y = 4. Для цього спочатку переконаємося, що точка (2; 4) задовольняє задане рiвняння, пiдставивши x = 2 i y = 4 в рiвняння. Тодi

–  –  –

Тепер розглянемо випадок, коли x = 2, a y = 0. Цi значення також задовольняють задане рiвняння. Це означає, що при x = 2 вихiдне рiвняння має два розв’язки y = 4 i y = 0. Похiдна y при x = 2 i y = 0 визначається рiвнiстю

–  –  –

2.1. Застосування похiдної в економiцi та природознавствi У §1 ми описали геометричний, фiзичний та економiчний змiсти похiдної. У цьому параграфi ми наведемо приклади застосування похiдної у рiзних галузях природознавства.

–  –  –

Це означає, що при обсязi виробництва 5 одиниць продукцiї витрати на виготовлення наступної шостої одиницi становитимуть 97,5 гр. од. а при обсязi виробництва 10 одиниць вони становитимуть 90 гр. од.

2) Нехай U (x) виторг вiд продажу x одиниць товару. Мiркуючи аналогiчно як у попередньому випадку, одержуємо

–  –  –

Ця границя називається граничним виторгом.

Приклад 2. Функцiя попиту на деякий товар визначається формулою p = 10 2x, де x – обсяг попиту, p – цiна.

Знайти граничний виторг при x = 2.

Очевидно, що виторг вiд продажу x одиниць товару

–  –  –

Це означає, що коли x зростає на один вiдсоток, то функцiя зростає на вiдсотка.

Теорема 1. Еластичнiсть добутку двох функцiй дорiвнює сумi еластичностей спiвмножникiв, а еластичнiсть частки двох функцiй дорiвнює рiзницi еластичностей чисельника i знаменника, тобто

–  –  –

тобто попит є нейтральним.

Можна розглядати еластичнiсть попиту вiдносно доходу споживачiв, пропозицiї вiдносно цiни, а також еластичнiсть повних i середнiх витрат.

Наприклад, якщо пiдприємство виробляє x одиниць продукцiї певного виду i K(x) є функцiєю сумарних витрат, то

–  –  –

Це означає, що еластичнiсть середнiх витрат на одиницю продукцiї менша за еластичнiсть сумарних витрат.

Якщо Ek = 1, то Eµ = 0 i, отже, µ (x) = 0, тобто середнi витрати сталi. З рiвностi Eµ = 0 випливає, що K x K = 0 або K = K. Тому при Ek = 1 граничнi витрати K дорiвнюють x середнiм витратам.

Приклад 5. Залежнiсть мiж собiвартiстю продукцiї i обсягом виробництва Q виражається формулою

–  –  –

E15 (C) = (0, 4) = = = 0, 14.

50 0, 5 · 15 50 6 44 22 Отже, при даному обсязi випуску продукцiї збiльшення його на один вiдсоток приводить до зниження собiвартостi приблизно на 0, 14%.

2.1.2. Застосування похiдної в задачах природознавства. Як було зазначено в §1 за допомогою похiдної можна визначити швидкiсть змiни однiєї з величин у залежностi вiд змiни iншої. Наведемо приклади, якi дозволяють краще зрозумiти змiст похiдної та продемонструють її застосування при розв’язуваннi конкретних прикладних задач.

Приклад 6. Розмiр популяцiї бактерiй в момент часу t (в годинах) визначається формулою p(t) = 106 + 104 t 103 t2.

Знайти швидкiсть росту популяцiї, якщо: 1) t = 1 год.; 2) t = 5 год.; 3) t = 10 год.

Оскiльки швидкiсть росту популяцiї дорiвнює p (t), то, знайшовши похiдну, одержимо p (t) = 104 2 · 103 t.

Якщо: 1) t = 1 год., то p (1) = 104 2 · 103 · 1 = 104 2 · 103 = 103 (10 2) = 8000; 2) t = 5 год., тодi p (5) = 104 2 · 103 · 5 = 104 104 = 0;



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 15 |
Похожие работы:

«“.Ви займаєтесь дуже благородною, цікавою, блискучою справою, але вона надзвичайно складна.” Інтерв’ю з зав. Відділом трансплантодогії та Вченим Секретарем Інституту експериментальної та теоретичної біофізики РАН в м. Пущино-на-Оке (РФ), д.б.н. Куликовим Олександром Володимировичем 4 жовтня 2012 року у рамках наукової конференції « Пришвидшене старіння» на базі Інституту геронтології ім. Д.Ф.Чеботарьова НАМН України активні учасники школи-семінару «Проблеми біоетики та фізики живого», яка вже...»

«КІРОВОГРАДСЬКА МІСЬКА РАДА ВИКОНАВЧИЙ КОМІТЕТ ЩОДЕННА ЕКСПРЕС – ІНФОРМАЦІЯ ПРЕС-СЛУЖБИ 21 грудня 2010 року ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ТЕСТУВАННЯ ВІДБУДЕТЬСЯ З 2 ПО 24 ЧЕРВНЯ Зовнішнє незалежне оцінювання навчальних досягнень випускників загальноосвітніх навчальних закладів, які вирішили стати студентами вищих закладів освіти, відбудеться із 2 по 24 червня. Як повідомила заступник директора гуманітарного департаменту міської ради Лариса Костенко, абітурієнти будуть складати обов’язково тести з...»

«А. М. Заїка, С. С. Тарнавська МАТЕМАТИКА Підручник для 1 класу загальноосвітніх навчальних закладів Рекомендовано Міністерством освіти і науки, молоді та спорту України Тернопіль Видавництво «Підручники і посібники» ББК 22.1я721 З-17 Рекомендовано Міністерством освіти і науки, молоді та спорту України (Наказ Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України від 07.02.2012 р. № 118) Експертизу здійснював Інститут педагогіки Національної академії педагогічних наук України Рецензенти: Ярослав...»

«_ _ _ Рекомендовано Міністерством освіти і науки України КИЇВ «ГЕНЕЗА» _ _ _ ББК 22.3я721 К70 Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ МОН України № 56 від 02.02.2009 р.) Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено Відповідальні за підготовку до видання: Хоменко О.В. – головний спеціаліст МОН України; Юрчук І.А. – методист вищої категорії Інституту інноваційних технологій і змісту освіти. Незалежні експерти: Бар’яхтар В.Г. – доктор фіз. мат. наук, професор, академік,...»

«УДК 535.37; 535.345.67+535.361; 621.315.592; 621.396 РОЗРОБКА ВИСОКОЕФЕКТИВНИХ МІКРО-, НАНОТЕХНОЛОГІЙ ОПТОЕЛЕКТРОНІКИ І КОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ НА ЇХ ОСНОВІ/ В.Г.Вербицький, І.М.Вікулін, П.П.Воробієнко, В.М.Годованюк, В.Б.Каток, Ш.Д.Курмашев, В.І.Осінський, І.П.Панфілов, В.В.Рюхтін, Г.О.Сукач// Київ.ЛОГОС.302 с. ISBN ISBN Ця колективна монографія присвячена теоретичним та експериментальним дослідженням і розробкам сучасних високоефективних мікроі нанотехнологій матеріалів, елементів, приладів...»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ ВІННИЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УПРАВЛІННЯ ТА ПОВОДЖЕННЯ З ВІДХОДАМИ Частина перша Технології знезараження непридатних пестицидів Вінниця ВНТУ УДК 632.95 ББК 44+35.33(075) У 67 Рекомендовано до друку Вченою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України (протокол №7 від 23.02.2012 р.) Автори: Петрук В.Г., Ранський А.П., Васильківський І.В., Іщенко В.А., Безвозюк...»

«ЗАТВЕРДЖЕНО Наказ Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України 29 березня 2012 року № 384 Форма № Н-3.03 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ (найменування центрального органу управління освітою, власник) Англійська мова спеціального вжитку _ (назва навчальної дисципліни) ПРОГРАМА нормативної навчальної дисципліни підготовки бакалавра (назва освітньо-кваліфікаційного рівня) для студентів фізичного факультету І I курсу напряму 6.040203-фізика (шифр і назва напряму)...»

«ДЕРЖАВНА САНІТАРНО-ЕПІДЕМІОЛОГІЧНА СЛУЖБА УКРАЇНИ ЗАТВЕРДЖУЮ Головний державний санітарний лікар України _ А.М.Пономаренко _ 2011 р. №_ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ щодо застосування засобу Санодез форте з метою дезінфекції, стерилізації та суміщення дезінфекції з достерилізаційним очищенням виробів медичного призначення Організація – розробник: Центральна санітарно-епідеміологічна станція МОЗ України та ТзОВ СаноМарк (Україна). Методичні вказівки призначені для закладів охорони здоров’я та інших...»

«2224-087X. Електроніка та інформаційні технології. 2012. Випуск 2. С. 45– Electronics and information technologies. 2012. Issue 2. P. 45–50 УДК:535.37, 621.315.592 ВПЛИВ ПОВЕРХНІ НАНОКРИСТАЛІВ CdS НА ЇХНІ ЛЮМІНЕСЦЕНТНІ ВЛАСТИВОСТІ В. Сминтина, Б. Семененко, В. Скобєєва, М. Малушин Одеський національний університет імені І.І. Мечникова, вул. Дворянська, 2, 65026 Одеса, Україна e-mail: semenenkobogdan@rambler.ru Однією з особливостей кристалів, що мають нанорозмірний розмір та ізольовані в...»

«Національний екологічний центр України Деснянський екологічний коридор Під загальною редакцією В. Костюшина, Є. Прекрасної Київ Василюк О., Костюшин В., Прекрасна Є., Парнікоза І., Куцоконь Ю., Мішта А., Некрасова О., Заворотна Г., Плига А., Полянська К., Борисенко К., Буй Д. Деснянський екологічний коридор. Під заг. ред. В. Костюшина, Є. Прекрасної. — К.: НЕЦУ, 2010. — 164 с. з дод. Книга, яку ви тримаєте в руках, є результатом проекту ”Розвиток Деснянського коридору як частини національної...»




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы


 
2013 www.uk.x-pdf.ru - «Безкоштовна електронна бібліотека»