WWW.UK.X-PDF.RU

БЕЗКОШТОВНА ЕЛЕКТРОННА БІБЛІОТЕКА - Книги, видання, автореферати

 
<< HOME
CONTACTS




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы

Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы
Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 15 |

«Вища математика Загальний курс Частина II Математичний аналіз і диференціальні рівняння Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих ...»

-- [ Страница 2 ] --

Всi функцiї, якi одержуються за допомогою скiнченного числа арифметичних дiй над найпростiшими елементарними функцiями, а також суперпозицiєю цих функцiй, утворюють клас елементарних функцiй. Прикладами елементарних функцiй є: f (x) |x|; f (x) = lg3 arctg 2 x + sin 3x, f (x) = = ln | sin 5x| earcsin x i т.д.

Розглянемо детальнiше найпростiшi елементарнi функцiї.

1) Стала y = C, x R, – це функцiя, яка має одне й те саме значення для всiх значень аргументу. Графiком цiєї функцiї є пряма, яка паралельна осi абсцис.

y T y=C C

–  –  –

2) Степенева функцiя y = x, де – дiйсне число, вiдмiнне вiд нуля. Область визначення цiєї функцiї залежить вiд значень показника. Розглянемо окремi випадки степеневої функцiї:

а) y = xn, n N; D(y) = (; ); E(y) = (; ), якщо n – непарне i E(y) = [0; ), якщо n – парне; функцiя непарна,

–  –  –

б) y = xn, n N; D(y) = (; 0) (0, ); E(y) = (; 0) (0; ), коли n – непарне i E(y) = (0; ); коли n – парне; функцiя непарна, при непарному n i парна при парному n; спадає на (; 0) i на (0; ), якщо n – непарне; зростає на (; 0) i спадає на (0; ), якщо n – парне.

–  –  –

6) Оберненi тригонометричнi функцiї y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

а) y = arcsin x. Якщо розглядати функцiю y = sin x на всiй числовiй осi (; ), то вона не має оберненої, оскiльки одному значенню y [1; 1] вiдповiдає нескiнченно багато значень x. Якщо ж цю функцiю розглядати на вiдрiзку [ ; ], то на ньому функцiя y = sin x зростає i, отже, має обернену, яку позначають символом x = arcsin y. Позначивши незалежну змiнну через x, а функцiю через y, одержимо y = arcsin x.

Функцiя y = arcsin x визначена на вiдрiзку [1; 1] i набуває значень, якi належать вiдрiзку [ ; ]. Ця функцiя зростає на

–  –  –

де m 0 – цiлi числа, a0, a1,..., am – довiльнi числа – коефiцiєнти (a0 = 0), називається цiлою рацiональною функцiєю або алгебраїчним многочленом степеня m. Многочлен першого степеня називається також лiнiйною функцiєю, а многочлен другого степеня – квадратним тричленом.

–  –  –

7. З’ясувати, якi з наведених нижче функцiй мають оберненi, знайти вiдповiднi оберненi функцiї та їхнi областi визначення:

1) y = ax + b; 2) y = ln 2x; 3) y = 2x/2 ; 4) y = x2 1, x (; 1 ];

–  –  –

(0; 1). 2. 1) (; 4 ]; 2) [2; 2]; 3) [ 1 ; 2]; 4) [0; ]; 5) [0; 2 ]; 6) [3; 3].

3. 1) Непарна; 2) парна; 3) нi парна, нi непарна; 4) парна; 5) нi парна, нi непарна; 6) нi парна, нi непарна. 4. 1) ; 2) ; 3) 1 ; 4) ; 5) 1;

–  –  –

Нехай функцiя f визначена на множинi X. Точка a (a – скiнчене) називається точкою скупчення цiєї множини, якщо її довiльний -окiл U (a; ) мiстить нескiнченно багато елементiв множини X. У найпростiшому випадку можна вважати, що функцiя f визначена у деякому околi точки a, причому в самiй точцi a функцiя f не обов’язково визначена.

Отже, нехай a – точка скупчення множини X – областi визначення функцiї f.

Число b називається границею функцiї f (x) при x a ( або в точцi a), тобто

–  –  –

Праве i лiве граничнi значення функцiї f в точцi a часто називають однобiчними граничними значеннями.

Очевидно, що коли функцiя f має границю в точцi a, то вона має й однобiчнi границi в цiй точцi, якi однаковi.

Обернене твердження таке: якщо обидвi однобiчнi границi iснують й однаковi, то функцiя f має границю в точцi x = a.

2.3. Границя послiдовностi. Розглянемо функцiю, областю визначення якої є множина натуральних чисел: x = f (n), n N. Така функцiя називається функцiєю натурального аргументу або послiдовнiстю. Значення цiєї функцiї називаються членами послiдовностi i позначаються символами xn, n N. Члени послiдовностi звичайно розмiщуються у порядку зростання аргументу:

–  –  –

x1 називається першим членом послiдовностi, x2 – другим членом,..., xn називається n-ним або загальним членом послiдовностi.

Позначають послiдовнiсть символом (xn, n N), або

–  –  –

Конкретизуючи означення границi функцiї lim f (x) на виx падок функцiї натурального аргументу, приходимо до означення границi послiдовностi.

Число a називається границею послiдовностi {xn, n N}, тобто lim xn = a, якщо для довiльного 0 iснує номер n n0 = n0 () такий, що для n n0 виконується нерiвнiсть |xn

a|. У символiчнiй формi:

lim xn = a 0 n0 N n n0 : |xn a|.

n Послiдовнiсть, яка має границю, називається збiжною, а яка не має – розбiжною.

Змiст означення границi числової послiдовностi полягає в тому, що, починаючи з деякого номера n0, члени послiдовностi {xn, n N} як завгодно мало вiдрiзняються вiд числа a (за абсолютною величиною менше, нiж на число, яким би малим воно не було).

–  –  –

Якщо послiдовнiсть {xn, n N} збiжна i її границею є число a, то рiзниця {xn a, n N} = {n, n N} є нескiнченно малою послiдовнiстю. Звiдси випливає, що будь-який елемент xn збiжної послiдовностi, яка має границею число a, можна подати у виглядi xn = a + n, де n – елемент нескiнченно малої послiдовностi {n, n N}.

Легко можна довести, що коли всi елементи нескiнченно малої послiдовностi {n, n N} дорiвнюють одному й тому самому числу c, то c = 0.

Розглянемо деякi властивостi збiжних послiдовностей.

Теорема 3. Збiжна послiдовнiсть обмежена.

Нехай {xn, n N} – збiжна послiдовнiсть i число a – її границя.

Нехай 0 – довiльне число i n0 – номер, починаючи з якого виконується нерiвнiсть |xn a|. Тодi для всiх n n0

–  –  –

Якщо взяти A = max{|a| +, |x1 |,..., |xn0 |}, то |xn | A для всiх номерiв n N, що й означає обмеженiсть послiдовностi {xn, n N}.

Обмежена послiдовнiсть може й не бути збiжною. Наприклад, послiдовнiсть {(1)n, n N} обмежена, але не є збiжною.

Проведемо доведення вiд протилежного. Нехай границею цiєї послiдовностi є число a. Це означає, що для довiльного 0, зокрема, i для =, iснує номер n0 такий, що при n n0 виконується нерiвнiсть |xn a|. Оскiльки xn набуває по

–  –  –

тобто 2 1. Одержана суперечнiсть доводить розбiжнiсть даної послiдовностi.

Теорема 3 є пiдсиленням теореми 1 на випадок числових послiдовностей. У теоремi 1 стверджується, що функцiя, яка має границю при x a, є обмеженою в деякому околi точки a, а не в усiй областi визначення. Збiжна послiдовнiсть є обмеженою в усiй областi визначення, тобто на множинi N.

Теорема 4. Збiжна послiдовнiсть має тiльки одну границю.

Припустимо протилежне, що збiжна послiдовнiсть {xn, n N} має двi границi a i b. Тодi для елементiв xn дiстанемо xn = a + n, xn = b + n, n N, де n i n – елементи нескiнченно малих послiдовностей {n, n N}, {n, n N}. Вiднявши вiд першої рiвностi другу, одержимо, що n n = b a. Оскiльки всi елементи нескiнченно малої послiдовностi {n n, n N} дорiвнюють одному й тому самому числу b a, то згiдно з попереднiм b a = 0, тобто a = b.

Послiдовнiсть {yn, n N} називається нескiнченно великою, якщо для довiльного додатного числа E iснує номер n0 такий, що при n n0 виконується нерiвнiсть |yn | E. Для нескiнченно великої послiдовностi використовують позначення lim yn =.

n Доводиться, що коли {yn, n N} – нескiнченно велика по

–  –  –

Знаючи означення границi функцiї при x a, можна дати розгорнуте означення нескiнченно малої функцiї.

Функцiя називається нескiнченно малою при x a, якщо для довiльного 0 iснує 0 таке, що для будь-якого o x U (a; ) X правильна нерiвнiсть |(x)|.

Якщо lim f (x) = b, b R, то функцiя (x) = f (x) b є xa нескiнченно малою при x a, що випливає з означення границi функцiї.

–  –  –

клад, функцiя f (x) = sin є необмеженою в довiльному x x околi точки x = 0, але вона не є нескiнченно великою при x 0, оскiльки функцiя весь час коливається, переходячи вiд додатних до вiд’ємних значень i навпаки. Очевидно, що нескiнченно велика функцiя є необмеженою при x a.

Вивчимо основнi властивостi нескiнченно малих та нескiнченно великих функцiй.


Купить саженцы и черенки винограда

Более 140 сортов столового винограда.


Властивiсть 1. Сума довiльного скiнченого числа нескiнченно малих при x a функцiй є нескiнченно малою при x a функцiєю.

–  –  –

Звiдси випливає, що b c = 0 або b = c, що суперечить припущенню b = c.

Зауваження 6. В умовi теореми 5 припускається, що кожна з функцiй має границю, i доводиться, що їхня сума (рiзниця) також має границю. Обернене твердження, взагалi кажучи, не має мiсця.

Наприклад,

–  –  –

криттям невизначеностi вигляду або. Тому часто, спершу треба тотожно перетворити функцiю, границю якої шукаємо, а потiм застосувати теореми про границi.

–  –  –

Узагальнюючи приклади, розглянутi вище, можна зробити висновок: при x ± границя вiдношення двох многочленiв однакових степенiв дорiвнює вiдношенню коефiцiєнтiв

–  –  –

або a = a, тобто a = 0.

Теорему 9 можна узагальнити на випадок монотонних функцiй.

Теорема 10. Нехай функцiя f монотонна i обмежена при x a(x a). Тодi iснує лiве (праве) граничне значення f при

x a:

–  –  –

Число e (число Ейлера, неперове число) вiдiграє дуже важливу роль у математичному аналiзi. Графiк функцiї y = ex називається експонентою. Широко використовуються логарифми за основою e, якi називаються натуральними. Натуральнi логарифми позначаються символом ln:

–  –  –

Ця формула виражає показниковий (експоненцiальний) закон зростання (при p 0) або спадання (при p 0). Вона використовується при неперервному нарахуваннi вiдсоткiв.

На практицi у фiнансово-кредитних операцiях неперервне нарахування вiдсоткiв використовується рiдко, але воно є ефективним при аналiзi складних фiнансових проблем, зокрема, при обгрунтуваннi та виборi iнвестицiйних рiшень.

Приклад 19. Нехай є m0 грам-молекул активної речовини.

Припускаючи, що за одиницю часу вступає в реакцiю p% цiєї речовини, знайти, яка кiлькiсть грам-молекул не вступить в реакцiю за час t.

–  –  –

Звiдси випливає означення.

Функцiя f називається неперервною в точцi x0 якщо її прирiст у цiй точцi є нескiнченно малою функцiєю при x 0.

Функцiя f називається неперервною на множинi X, якщо вона визначена на цiй множинi й неперервна у кожнiй її точцi. Зокрема, функцiя f неперервна на [a; b], якщо вона неперервна на (a; b) й неперервна у точцi a справа, а у точцi b злiва, тобто lim f (x) = f (a), lim f (x) = f (b).

xa+0 xb0 Приклад 1. Дослiдити на неперервнiсть функцiю y = x2.

Область визначення даної функцiї D(y) = R. Вiзьмемо довiльну точку x0 R. Прирiст функцiї, що вiдповiдає приросту x аргументу дорiвнює

–  –  –

де n 0 – цiле число, a0, a1,..., an – довiльнi дiйснi числа.

Кожний з доданкiв a0 xn,...,an є добутком двох неперервних функцiй сталої i степеневої, а отже, є неперервною функцiєю згiдно з теоремою 1. Многочлен Pn (x) є неперервною функцiєю у будь-якiй точцi x0 R як сума неперервних функцiй.

2. Дробово-рацiональна функцiя, тобто функцiя вигляду

–  –  –

Це означає, що права й лiва границi в точцi x = 0 однаковi й дорiвнюють значенню функцiї f (0), а тому функцiя неперервна в цiй точцi.

4. Неперервнiсть найпростiших елементарних функцiй. Можна довести, що найпростiшi елементарнi функцiї неперервнi в областi визначення:

1) y = ax, 0 a = 1 – неперервна на R;

2) y = loga x, 0 a = 1 – неперервна на (0; );

3) y = sin x i y = cos x – неперервнi на R; y = tg x – неперервна при x = + n, n Z; y = ctg x – неперервна при x = n, n Z;

4) y = arcsin x i y = arccos x – неперервнi на [1; 1]; y = arctg x i y = arcctg x – неперервнi на R.

Доведемо, наприклад, неперервнiсть функцiї y = sin x у довiльнiй точцi x R. Скористаємось означенням неперервностi функцiї за допомогою приростiв. Надамо аргументу x приросту x, тодi функцiя набуде приросту

–  –  –

i добуток обмеженої функцiї на нескiнченно малу є нескiнченно малою. Отже, функцiя y = sin x неперервна в довiльнiй точцi x R.

Теорема 2. Якщо функцiя f неперервна в точцi x0 i f (x0 ) 0, то iснує такий окiл точки x0, у якому f (x) 0.

Згiдно з означенням неперервностi функцiї f в точцi x0 маємо, що lim f (x) = f (x0 ). Тепер скористаємося означенням xx0 границi функцiї: = f (x0 ) 0 0 x U (x0 ; ): |f (x) f (x0 )| f (x0 ) або 0 f (x) 2f (x0 ).

Отже, для x U (x0 ; ) має мiсце нерiвнiсть f (x) 0.

Теорема 3. Якщо функцiя u = (x) неперервна в точцi x0, а функцiя y = f (u) неперервна в точцi u0 = (x0 ), то складена функцiя y = f ((x)) неперервна в точцi x0.

Для доведення теореми досить установити, що

–  –  –

Коротко цю теорему можна сформулювати так: складена функцiя y = f ((x)), яка утворена з двох неперервних функцiй f (u) i (x), є неперервною функцiєю.

Наприклад, складена функцiя y = sin(x2 + 4x 3) неперервна для всiх x R, оскiльки функцiї y = sin u i u = x2 + 4x 3 неперервнi скрiзь на R. Складена функцiя y = ln(1 x2 ) неперервна для значень x, що задовольняють нерiвнiсть 1 x2 0, тобто в iнтервалi (1; 1).

Як вiдомо, елементарною функцiєю називається функцiя, яку можна задати одним аналiтичним виразом, складеним з найпростiших елементарних функцiй за допомогою скiнченного числа арифметичних дiй i скiнченного числа утворень складених функцiй. Оскiльки найпростiшi елементарнi функцiї неперервнi в усiх точках у яких вони визначенi, то з теорем 1 i 3 випливає, що всяка елементарна функцiя неперервна в усiх точках, що належать її областi визначення.

Цей важливий результат дозволяє легко знаходити границю елементарної функцiї при x x0, якщо функцiя визначена в точцi x = x0. Для цього досить обчислити значення функцiї в цiй точцi:

lim f (x) = f ( lim x) = f (x0 ).

xx0 xx0

–  –  –

У пунктi 1.5 §1 було введено поняття оберненої функцiї i доведено, що строго монотонна на деякому промiжку X функцiя має обернену, яка визначена на промiжку Y – множинi значень прямої функцiї, i є також монотонною.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 15 |
Похожие работы:

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇ НИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ „ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” ВИКОНАННЯ МА ҐІСТЕРСЬКИХ РОБІТ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання маґістерських робіт для студентів спеціальностей “Технологія та устаткування зварювання ” та “Технологія та устаткування для відновлення та підвищення зносостійкості машин і конструкцій ” Затверджено на засіданні кафедри зварювального виробництва, діаґностики та відновлення металоконструкцій Протокол № 1 від 28. 08. 2007 р. Львів 2007 Виконання...»

«Державний комітет архівів України Український науково-дослідний інститутархівної справи та документознавства (УНДІАСД) ОПИСУВАННЯ ТА ОРГАНІЗАЦІЯ ЗБЕРІГАННЯ ЕЛЕКТРОННИХ ІНФОРМАЦІЙНИХ РЕСУРСІВ ОРГАНІВ ДЕРЖАВНОЇ ВЛАДИ, ОРГАНІВ МІСЦЕВОГО САМОВРЯДУВАННЯ, ПІДПРИЄМСТВ, УСТАНОВ І ОРГАНІЗАЦІЙ. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ Схвалено Протокол засідання Нормативно-методичної комісії Держкомархіву 12 жовтня 2010 р., № 2 Киів 2010 СПИСОК АВТОРІВ Старший науковий співробітник відділу документознавства УНДІАСД Ю. С....»

«МАТЕРІАЛИ МІЖНАРОДНОЇ НАУКОВО-ПРАКТИЧНОЇ КОНФЕРЕНЦІЇ «АКТУАЛЬНІ ПИТАННЯ СУЧАСНОЇ НАУКИ» (25-26 квітня 2014 року) Одеса УДК 501+62(063) ББК 20+30я43 А 43 Актуальні питання сучасної науки. Матеріали міжнародної А 43 науково-практичної конференції (м. Одеса, 25-26 квітня 2014 року). – Херсон : Видавничий дім «Гельветика», 2014. – 128 с. ISBN 978-617-7041-63-0 У збірнику представлені матеріали міжнародної науково-практичної конференції «Актуальні питання сучасної науки». Розглядаються загальні...»

«1. ПІБ Айман Аль Уста 2. Назва Ефективність використання відновлювальної енергії на об’єктах промислового теплопостачання Сирії 3. Спеціальність 05.14.06. – „Технічна теплофізика та промислова теплоенергетика” 4. Місце роботи Сірія.5. Де виконана дисертація Одеський національний політехнічний університет 6. Науковий керівник Мазуренко Антон Станіславович, д.т.н, професор 7. Опоненти Дорошенко Олександр Вікторович, д.т.н., професор Пуховий Іван Іванович, д.т.н., професор 8. Зв’язок роботи з...»

«Київський національний університет імені Тараса Шевченка На правах рукопису Буй Дмитро Борисович УДК 681.3.06 ТЕОРІЯ ПРОГРАМНИХ АЛГЕБР КОМПОЗИЦІЙНОГО ТИПУ ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ 01.05.03 – Математичне та програмне забезпечення обчислювальних машин та систем Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук Науковий консультант Редько Володимир Никифорович, доктор фіз.-мат. наук, професор, академік НАНУ Київ – 2002 ЗМІСТ Перелік умовних позначень Вступ Розділ 1. Нерухомі...»

«Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Національний технічний університет України „Київський політехнічний інститут” Кафедра зварювального виробництва Український атестаційний комітет зварювальників Інститут електрозварювання ім. Є.О.Патона НАН України Український науково-дослідний інститут авіаційної технології МАТЕРІАЛИ КОНФЕРЕНЦІЇ П’ята всеукраїнська міжгалузева науково-технічна конференція студентів, аспірантів та наукових співробітників „ЗВАРЮВАННЯ ТА СПОРІДНЕНІ ПРОЦЕСИ І...»

«ЗАТВЕРДЖЕНО Наказ Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України 29 березня 2012 року № 384 Форма № Н-3.03 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ (найменування центрального органу управління освітою, власник) Англійська мова спеціального вжитку _ (назва навчальної дисципліни) ПРОГРАМА нормативної навчальної дисципліни підготовки бакалавра (назва освітньо-кваліфікаційного рівня) для студентів фізичного факультету І I курсу напряму 6.040203-фізика (шифр і назва напряму)...»

«КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА ВІРШИЛО ІВАН ВІКТОРОВИЧ УДК 552.078 + 553.08 Автоматизована система розв’язку задач інверсії даних сейсмоакустики для багатокомпонентного анізотропного геологічного середовища Спеціальність – 04.00.22 – Геофізика АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата геологічних наук Київ – 2004 Дисертацією є рукопис. Робота виконана у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка. Науковий керівник: доктор...»

«НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ КАРПАТСЬКЕ ВІДДІЛЕННЯ ІНСТИТУТУ ГЕОФІЗИКИ ім. С.І. СУББОТІНА Валентин Юхимович МАКСИМЧУК Біобібліографічний покажчик Львів Видавництво Львівської політехніки УДК 016:54(092) ББК 91 М 11 Укладач Юлія Якас Автор вступної статті В.Г. Кузнєцова Відповідальний редактор О.Я. Сапужак Рекомендувала Вчена рада Карпатського відділення Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України Максимчук Валентин Юхимович: біобібліографічний М 11 покажчик. – Львів: Видавництво...»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені М. П. ДРАГОМАНОВА ІНСТИТУТ ЕКОЛОГІЇ ЕКОНОМІКИ І ПРАВА НАЦІОНАЛЬНИЙ ЦЕНТР “МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ” НАУКОВА ЕЛІТА У РОЗВИТКУ ДЕРЖАВ МАТЕРІАЛИ доповідей та виступів учасників ІІ Міжнародної науково-практичної конференції 09–10 жовтня 2012 року Україна, м. Київ Київ 2012 Праймдрук УДК 374 ББК 74.058 Н 69 Рекомендовано до друку Вченою радою Національного педагогічного університету імені М. П....»




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы


 
2013 www.uk.x-pdf.ru - «Безкоштовна електронна бібліотека»