WWW.UK.X-PDF.RU

БЕЗКОШТОВНА ЕЛЕКТРОННА БІБЛІОТЕКА - Книги, видання, автореферати

 
<< HOME
CONTACTS




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы

Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы
Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |

«Вища математика Загальний курс Частина II Математичний аналіз і диференціальні рівняння Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих ...»

-- [ Страница 13 ] --

2.4. Особливi розв’язки. Згiдно з теоремою Кошi, якщо права частина рiвняння y = f (x, y) неперервна у деякiй областi i має в нiй неперервну похiдну fy (x, y), то через кожну внутрiшню точку (x0 ; y0 ) областi проходить єдина iнтегральна крива. Умови теореми Кошi можуть не виконуватися в точках, якi лежать на межi областi. Такi точки, де не виконуються умови теореми Кошi, як було вiдзначено ранiше, називаються особливими. Якщо M0 (x0 ; y0 ) – особлива точка то може трапитись, що через неї або не проходить жодна iнтегральна крива, або проходить декiлька iнтегральних кривих.

Якщо графiк функцiї y = (x) складається тiльки з особливих точок рiвняння, то функцiя є особливим розв’язком цього рiвняння.

Умови теореми Кошi є достатнiми для того, щоб в деякiй областi не iснувало особливого розв’язку. Тому для iснування особливого розв’язку необхiдно, щоб не виконувалися умови теореми Кошi. Отже, для того щоб знайти особливий розв’язок диференцiального рiвняння y = f (x, y), треба знайти функцiю y = (x), в кожнiй точцi графiка якої має розрив або f, або fy i перевiрити чи є функцiя розв’язком цього рiвняння. Якщо функцiя y = (x) є розв’язком диференцiального рiвняння, то вона й буде особливим розв’язком.

Приклад 10. Чи має рiвняння y = y 2 + x2 особливий розв’язок?

Маємо f (x, y) = y 2 + x2, fy = 2y. Цi функцiї неперервнi в будь-якiй областi R2, а це означає, що умови теореми Кошi виконуються, i отже, особливого розв’язку рiвняння не має.

Приклад 11. Знайти особливий розв’язок рiвняння y = 3 y 2.

Права частина цього рiвняння f (x, y) = 3 y 2 неперервна при

–  –  –

Сiм’я iнтегральних лiнiй, якi вiдповiдають знайденому загальному розв’язку, складається з кубiчних парабол. Оскiльки через кожну точку особливого розв’язку y = 0 (вiсь Ox) проходить ще одна iнтегральна крива цього розв’язку, тобто кубiчна парабола, то в кожнiй точцi осi Ox порушується властивiсть єдиностi.

Слiд вiдзначити, що особливий розв’язок, взагалi кажучи, не мiститься у загальному розв’язку i не може бути видiлений з нього при жодному конкретному значеннi сталої C.

Приклад 12. Чи має рiвняння y = 3 y 2 + 1 особливий розв’язок?

Як i в попередньому прикладi, множиною всiх особливих точок рiвняння є пряма y = 0 (вiсь Ox). Легко можна переконатися, що функцiя y = 0 не є розв’язком рiвняння. Тому це рiвняння не має особливих розв’язкiв.

–  –  –

Приклад 15 (математична модель епiдемiї). Для простоти обмежимося розглядом епiдемiї найпростiшого вигляду. Припустимо, що дослiджуване захворювання продовжується достатньо довго, а тому можна вважати, що iнфекцiя поширюється швидше, нiж триває сама хвороба. Нас цiкавитиме процес передачi iнфекцiї.

При цьому iнфiкованi особини не вилучаються з колонiї i, отже, iнфекцiя передається неiнфiкованим особинам контактним способом.

Скласти математичну модель процесу i знайти закон залежностi числа неiнфiкованих вiд часу.

Нехай a та b – вiдповiдно кiлькiсть iнфiкованих i неiнфiкованих особин в початковий момент, x = x(t) – кiлькiсть неiнфiкованих в момент t, а y = y(t) – кiлькiсть iнфiкованих у момент t. Для всiх моментiв часу iз деякого не дуже великого вiдрiзка 0 t T (T менше часу життя одного поколiння, тому в наших рiвняннях можемо не враховувати природну смертнiсть) має мiсце рiвнiсть x+y = b+a.

Оскiльки iнфекцiя передається при зустрiчах iнфiкованих з неiнфiкованими, то кiлькiсть неiнфiкованих буде зменшуватися з часом пропорцiйно кiлькостi зустрiчей мiж ними, тобто пропорцiйно добутку xy. Тому швидкiсть зменшення кiлькостi неiнфiкованих особин dx пропорцiйна xy, тобто dt dx = xy, dt де – коефiцiєнт пропорцiйностi. Згiдно з умовою y = b + a x i тому отримаємо рiвняння dx = x(b + a x).

dt Вiдокремивши змiннi, отримаємо dx = dt x(b + a x)

–  –  –

Наведемо приклади математичних моделей хiмiчних процесiв, якi описуються диференцiальними рiвняннями.

Хiмiчнi реакцiї. Молекулярнiсть хiмiчної реакцiї дорiвнює загальнiй кiлькостi молекул, якi входять в лiву частину хiмiчного рiвняння. Порядком реакцiї є сума показникiв степенiв концентрацiй, що входять до її кiнетичного рiвняння. Наприклад, RaB RaC є реакцiєю першого порядку. Швидкiсть, з якою система компонентiв лiвої частини перетворюється в систему компонентiв правої частини рiвняння, називається швидкiстю реакцiї. Дiюча маса або концентрацiя реагуючої речовини A є кiлькiсть молей (моль або грам-молекула речовини – кiлькiсть грамiв цiєї речовини, яка дорiвнює її молекулярнiй масi). Наприклад, 1 моль кисню дорiвнює 16 г, а 1 моль водню

– 2 г цiєї речовини в одиницi об’єму. Згiдно з законом дiючих мас швидкiсть реакцiї пропорцiйна добутку концентрацiй реагуючих речовин у даний момент.

Хiмiчнi реакцiї першого порядку. Якщо a – початкова концентрацiя речовини A, x – кiлькiсть молей на лiтр, якi реагували за час t вiд початку реакцiї, то швидкiсть цiєї реакцiї dx є, а дiюча маса речовини на цей момент становить a x.

dt Тодi за законом дiючих мас маємо dx = k(a x), dt де k – коефiцiєнт пропорцiйностi, який залежить вiд типу i умов хiмiчного процесу. Оскiльки це рiвняння з вiдокремлюва

–  –  –

Приклад 19 (про концентрацiю солi). У резервуар, що мiстить 10 кг солi на 100 л сумiшi, щохвилини вливається 30 л води i витiкає 20 л сумiшi. Визначити, яка кiлькiсть солi залишиться в резервуарi через t хв, вважаючи, що сумiш миттєво перемiшується.

Нехай x – кiлькiсть солi в резервуарi в момент часу t; dx

– кiлькiсть солi, яка переходить у розчин i витiкає з резервуара за час dt (знак мiнус у виразi dx пов’язаний з тим, що x – спадна функцiя). Об’єм сумiшi в резервуарi в момент часу t дорiвнює

–  –  –

Функцiя x = 0 також, очевидно, є розв’язком дослiджуваного рiвняння. Тому всi розв’язки рiвняння визначаються формулою x = C, де C 0 – довiльна стала. Скориставшись тим, що при (10 + t)2 t = 0 x = 10, одержуємо, що C = 1000. Отже, закон змiни кiлькостi солi в кг, що знаходиться в резервуарi, в залежностi вiд часу t (хв) має вигляд

–  –  –

13. З деякої сумiшi (хiмiчно неактивної) добувають сiрку, розчиняючи її в бензолi. Вiдомо, що протягом 42 хв, користуючись великою кiлькiстю бензолу, вдається екстрагувати половину всiєї наявної сiрки. Швидкiсть екстракцiї пропорцiйна добутку нерозчиненої кiлькостi сiрки i рiзницi концентрацiї насиченого розчину i розчину в даний момент. Знайти скiльки сiрки можна розчинити протягом 6 год, якщо в данiй речовинi мiститься 6 г сiрки i якщо взято 100 г бензолу – кiлькостi, яка при насиченi розчиняє 11 г сiрки.

14. Проходячи через лiс i зазначаючи опору дерев, вiтер втрачає частину своєї швидкостi. На нескiнченно малому шляху ця втрата пропорцiйна швидкостi на початку цього шляху i його довжинi.

Знайти швидкiсть вiтру, який пройшов в лiсi 150 м, якщо вiдомо, що початкова швидкiсть вiтру v0 = 12 м/с, а пiсля проходження шляху x = 1 м швидкiсть вiтру зменшилася до v1 = 11, 8 м/с.

dy

15. Знайти розв’язок диференцiального рiвняння = 0, 1y, що dt задовольняє початкову умову y(0) = 1000. Якщо y(t) є кiлькiсть популяцiї бактерiй пiсля t годин росту, то чому дорiвнює розмiр популяцiї пiсля 10 год?

16. Популяцiя x(t) бактерiй збiльшується так, що вiдносна швид

–  –  –

концентрацiю x(t) сполуки C для t 0, коли x(0) = 0; 2) граничну концентрацiю lim x(t), якщо a = 10, b = 15 од.

t

21. Рiст, виживання та подiл клiтин визначається потоком поживних речовин через оболонку клiтини. Це означає, що на раннiх стадiях клiтинного росту збiльшення маси клiтини пропорцiйне площi її поверхнi. Якщо пiд час росту форма i густина клiтини не змiнюються, то маса клiтини x(t) у момент часу t пропорцiйна кубу радiуса, а площа її поверхнi пропорцiйна квадрату радiуса. Потрiбно:

1) переконатися у тому, що на раннiх стадiях росту x(t) задовольdx = Cx2/3, де C 0 – коефiцiєнт пропорцiйностi; 2) няє рiвняння dt знайти x(t), якщо x(0) = x0 ; 3) знайти час, за який маса клiтини подвоїться, якщо C = 3, а x0 = 1.

22. Речовина A перетворюється в речовину B. Пiсля 1 год з початку реакцiї залишилося 44,8 г речовини A, а пiсля 3 год – 11,2 г речовини A. Визначити початкову кiлькiсть a речовини A i час, коли залишиться половина цiєї речовини.

23. В резервуарi знаходиться 100 л розчину, який мiстить 10 кг солi. В резервуар зi швидкiстю 3 л за хвилину подається вода i одночасно зi швидкiстю 2 л за хвилину розчин виливається iз резервуара, причому концентрацiя розчину залишається весь час рiвномiрною завдяки перемiшуванню. Скiльки солi залишається в резервуарi через годину?


Купить саженцы и черенки винограда

Более 140 сортов столового винограда.


–  –  –

або, якщо це можливо, у виглядi, розв’язаному вiдносно другої похiдної y = f (x, y, y ). (2) Як i у випадку диференцiального рiвняння першого порядку, для рiвняння другого порядку iснують загальний i частинний розв’язки.

Приклад 1. Знайти всi розв’язки рiвняння

–  –  –

Введемо позначення y = z(x). Тодi y = z i задане рiвняння набуде вигляду z = 2. Звiдси випливає, що z = 2x + C1, або y = 2x + C1. Проiнтегрувавши ще раз, дiстанемо

–  –  –

де x0, y0, y0 – заданi числа. Перша з цих умов визначає точку, через яку повинна проходити iнтегральна крива, а друга – нахил iнтегральної кривої в цiй точцi.

Задамо, наприклад, для рiвняння y = 2 такi початковi умови:

–  –  –

З цiєї системи знаходимо, що C1 = 1, C2 = 2. Тому шуканий розв’язок має вигляд y = x2 x + 2.

Результати, одержанi в прикладi 1, залишаються правильними i для довiльного диференцiального рiвняння другого порядку (2). Для цього рiвняння правильна теорема iснування i єдиностi (теорема Кошi): нехай права частина f (x, y, y ) рiвняння (2) i її частиннi похiднi fy (x, y, y ) i fy (x, y, y ) визначенi та неперервнi в деякiй областi змiни x, y i y. Тодi для будь-якої внутрiшньої точки (x0 ; y0 ; y0 ) цiєї областi рiвняння (2) має єдиний розв’язок y = (x), який задовольняє початковi умови (4).

Задача знаходження розв’язку рiвняння (2), який задовольняє початковi умови (4), називається задачею Кошi.

Функцiя y = (x, C1, C2 ) називається загальним розв’язком рiвняння (2) в областi, якщо вона задовольняє умови:

1) при довiльних значеннях сталих C1 i C2 є розв’язком рiвняння (2);

2) якi б не були початковi умови (4) iснують єдинi значення сталих C10 i C20 такi, що функцiя y = (x, C10, C20 ) є розв’язком рiвняння (2) i задовольняє початковi умови (4).

Очевидно, що значення сталих C10 i C20 знаходяться з системи рiвнянь y0 = (x0, C1, C2 ), y0 = (x0, C1, C2 ).

При заданнi початкових умов (4) треба пам’ятати, що точка (x0 ; y0 ; y0 ) повинна належати областi.

Якщо загальний розв’язок диференцiального рiвняння другого порядку одержано у виглядi, не розв’язаному вiдносно шу

–  –  –

то (5) називається загальним розв’язком рiвняння (2) у параметричнiй формi.

3.2. Найпростiшi рiвняння другого порядку, якi допускають зниження порядку. У цьому пунктi розглянемо рiвняння другого порядку, якi за допомогою замiни змiнної зводяться до рiвнянь першого порядку.

3.2.1. Рiвняння y = f (x). Припустимо, що f неперервна в iнтервалi (a; b). Тодi iснує єдиний розв’язок задачi Кошi, причому початковi данi y0, y0 можна задавати довiльно, а x0 повинно належати iнтервалу (a; b). Цей розв’язок визначений в усьому iнтервалi (a; b). Особливих розв’язкiв рiвняння не має, тобто всi розв’язки є частинними.

Приклад 2. Знайти розв’язок рiвняння y = xex, якщо y(0) = 1, y (0) = 0.

Знайдемо спочатку загальний розв’язок рiвняння. Для цього двiчi послiдовно проiнтегруємо задане рiвняння

–  –  –

3.2.2. Рiвняння y = f (x, y ). Це рiвняння не мiстить явно y. Введемо нову функцiю y = z(x). Тодi y = z (x) i рiвняння набуде вигляду z (x) = f (x, z(x)).

Припустимо, що знайдено загальний розв’язок цього рiвняння z(x) = (x, C1 ). Замiнивши в одержаному розв’язку z на y, дiстанемо рiвняння y = (x, C1 ).

Якщо проiнтегрувати цей вираз, то знайдемо загальний розв’язок вихiдного рiвняння

–  –  –

Приклад 3. Знайти розв’язок рiвняння (1 + x2 )y 2xy = 0, який задовольняє умови y(1) = 0, y (1) = 1.

Нехай y = z(x), тодi y = z (x). Пiдставивши цi вирази в задане рiвняння, одержимо рiвняння першого порядку

–  –  –

3.2.3. Рiвняння y = f (y, y ). Це рiвняння не мiстить явно змiнної x. Для зниження порядку рiвняння введемо нову функцiю z(y), залежну вiд змiнної y, покладаючи y = z(y).

–  –  –

Якщо ж f (x) 0, x [a; b], то рiвняння (7) називається лiнiйним неоднорiдним рiвнянням.

Вiдповiдь на питання про iснування та єдинiсть розв’язку рiвняння (6), який задовольняє початковi умови

–  –  –

дає теорема Кошi: якщо коефiцiєнти a0, a1, a2 i права частина лiнiйного рiвняння (6) неперервнi на вiдрiзку [a; b], причому коефiцiєнт a0 не перетворюється в нуль у жоднiй точцi цього вiдрiзка, то якими б не були початковi умови (9), де x0 (a; b), iснує єдиний розв’язок рiвняння (6), який задовольняє початковi умови (9).

При побудовi загального розв’язку рiвняння (6) важливу роль вiдiграє поняття лiнiйної незалежностi розв’язкiв рiвняння.

Два розв’язки y1 i y2 називаються лiнiйно залежними на вiдрiзку [a; b], якщо iснують числа 1 i 2 такi, що 1 + 2 = 0 i 1 y1 (x) + 2 y2 (x) = 0, x [a; b]. (10) Якщо ж рiвнiсть (10) виконується тодi й тiльки тодi, коли 1 = 0 i 2 = 0, то розв’язки y1 i y2 називаються лiнiйно незалежними.

Виникає запитання, як можна перевiрити, чи є частиннi розв’язки y1 i y2 лiнiйно незалежними на вiдрiзку [a; b], тобто утворюють фундаментальну систему розв’язкiв заданого рiвняння. Це можна зробити за допомогою визначника Вронського y1 (x) y2 (x) W (x) =.

y1 (x) y2 (x)

Правильними є такi твердження:

1) якщо функцiї y1 i y2 лiнiйно залежнi на вiдрiзку [a; b], то визначник Вронського дорiвнює нулю на цьому вiдрiзку;

2) якщо лiнiйно незалежнi функцiї y1 i y2 є розв’язками лiнiйного однорiдного рiвняння (8) з неперервними на вiдрiзку [a; b] коефiцiєнтами, то визначник Вронського W (x) не може перетворитися в нуль у жоднiй точцi цього вiдрiзка.

Приклад 5. Довести, що функцiї y1 = ek1 x i y2 = ek2 x лiнiйно незалежнi на довiльному вiдрiзку числової осi при k1 = k2.



Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |
Похожие работы:

«ІНСТИТУТ РЕГІОНАЛЬНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ НАН УКРАЇНИ у 2013 році Львів – 2014 Інститут регіональних досліджень НАН України у 2013 році: Інформаційне видання. – Львів, 2014. – 102. с. Видання містить інформацію про напрями та тематику досліджень, наукові публікації та основні результати діяльності Інституту регіональних досліджень Національної академії наук України у 2013 р. Для економістів, науковців, працівників органів державної влади та місцевого самоврядування, а також всіх, хто цікавиться...»

«ЩОРІЧНА НАУКОВА КОНФЕРЕНЦІЯ ІЯД, 28 січня 1 лютого 2013 р. Тези доповідей з фізики плазми ХОЛЛІВСЬКИЙ МЕХАНІЗМ ГЕНЕРАЦІЇ ОБЕРТАННЯ ПЛАЗМИ В ПЛАЗМІ z-ПІНЧА А. А. Гурин Інститут ядерних досліджень НАН України, Київ На основі дворідинного розширення МГД теорії, що враховує ефект Холла, розвинуто теорію гвинтових коливань циліндричного z-пінча з довільними розподілами компонент магнітного поля, B(r) та Bz(r), й течії плазми, V(r) та Vz(r), які задовольняють умові рівноваги плазми, створюваної й...»

«www.testosvit.com Ш К А Л А Е Л Е К Т Р О М А Г Н ІТ Н И Х Н азва діап азон у Д овж ина хви л і, X Н и зьк очастотн е понад 10 0 0 0 м ви п ром іненн я наддовгі понад м довгі м М X! середні м О 1000 « Он короткі ^ м ультракороткі мнмм Інфрачервоне випромінення 1 мм ^ 780 нм Видиме світло 780 + 380 нм Ультрафіолетове випромінення 380 10 нм Рентгенівське випромінення 10 ^ 5 • 10“ ^ нм ~3 Г амма-випромінення менше 5 1 0 нм www.testosvit.com В И П Р О М ІН Е Н Ь Ч а стота, v Д ж ерела Е л ек тр...»

«МЕТОДИ ТОКСИКОЛОГІЧНИХ ТА ТОКСИКОЛОГО ГІГІЄНІЧНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ УДК: 613.632.2:614.35:543.422.3 МЕТОДИКА ВИМІРЮВАННЯ МАСОВОЇ КОНЦЕНТ РАЦІЇ ГЕНТАМІЦИНУ СУЛЬФАТУ В ПОВІТРІ РОБО ЧОЇ ЗОНИ СПЕКТРОФОТОМЕТРИЧНИМ МЕТОДОМ Т.С. Зазуляк, к. біол. н. Національний медичний університет імені Данила Галицького, м. Львів РЕЗЮМЕ. Розроблено методику вимірювання масової концентрації гентаміцину сульфату в повітрі робочої зони спектрофотометричним ме тодом. При цьому використано властивість аміногруп молекули...»

«НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА «ОСНОВИ БІОХІМІЇ» ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА Вступна характеристика предмету: біохімія — одна з провідних наук сучасності. Вона відкриває широкі можливості регулювання життєвими процесами живих організмів. Головною метою біохімії є дослідження хімічного складу живих організмів та хімічні процеси, які проходять у живих організмах і є основою їхньої життєдіяльності. Навчальна програма «Основи біохімії» розрахована на учнів 9—11 класів загальноосвітніх, позашкільних навчальних...»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ і НАУКИ УКРАЇНИ СЛОВ’ЯНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ГУМАНІЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНО-ВИХОВНОГО ПРОЦЕСУ Збірник наукових праць ( Випуск LV ) Частина ІІІ Слов’янськ – 2011 ISSN 2077–1827 УДК 371.13 ББК 74.202 Г. 94 Гуманізація навчально-виховного процесу : збірник наукових праць / [За заг. ред. проф. В.І. Сипченка]. – Слов’янськ : СДПУ, 2011. – Вип. LV.Ч. ІІІ. – 313 с.Редакційна колегія: – кандидат педагогічних наук, професор (відповідальний Сипченко В.І. редактор) – доктор...»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені І.І. МЕЧНИКОВА Кафедра теплофізики Методичні вказівки «ОПТИЧНІ МЕТОДИ ВИМІРЮВАННЯ ТЕМПЕРАТУР» до спецкурсів «Теплопередача», «Газодинаміка горіння» та спецпрактикуму «Високотемпературні процеси в дисперсних системах» Одеса УДК 536.3, 536.52 Методичні вказівки до спецкурсів «Теплопередача», «Газодинаміка горіння» та спецпрактикуму «Високотемпературні процеси в дисперсних системах». Оптичні методи...»

«НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ М.П. ДРАГОМАНОВА НЕПОРОЖНЯ Лідія Вікторівна УДК 372. 853 МЕТОДИЧНА СИСТЕМА НАВЧАННЯ ХВИЛЬОВОЇ І КВАНТОВОЇ ОПТИКИ ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ КОМП’ЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГІЙ У ЗАГАЛЬНООСВІТНІХ НАВЧАЛЬНИХ ЗАКЛАДАХ 13.00.02 – теорія та методика навчання (фізика) АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата педагогічних наук Київ – 2008 Дисертацією є рукопис Роботу виконано в Інституті педагогіки АПН України доктор педагогічних наук, професор Науковий...»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ КІРОВОГРАДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ВОЛОДИМИРА ВИННИЧЕНКА НАУКОВІ ЗАПИСКИ Випуск 6 Частина Серія: ПЕДАГОГІЧНІ НАУКИ Кіровоград –2006 НАУКОВI ЗАПИСКИ Серія: ПЕДАГОГІЧНІ НАУКИ Випуск ББК 83,3 Ук Н-37 УКД 8У Наукові записки.–Випуск 66.– Серія: Педагогічні науки. – Кіровоград: РВВ КДПУ ім. В. Винниченка. – 2006. – Частина 1. – 242 с. ISBN 966-8089-31-6 У збірник увійшли статті фахівців з усіх регіонів України та ближнього зарубіжжя. Матеріали...»

«Використання матеріалів проектних робіт з історії українського козацтва у навчальному процесі Методичний посібник М. Ізяслав Ізяславський райметодкабінет Великорадогощанська ЗОШ І-ІІ ступенів Використання матеріалів проектних робіт з історії українського козацтва у навчальному процесі Методичний посібник М. Ізяслав Використання матеріалів проектних робіт з історії українського козацтва у навчальному процесі. Колективна робота педагогів Великорадогощанської ЗОШ І-ІІ ступенів. Керівник: Гаврилюк...»




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы


 
2013 www.uk.x-pdf.ru - «Безкоштовна електронна бібліотека»