WWW.UK.X-PDF.RU

БЕЗКОШТОВНА ЕЛЕКТРОННА БІБЛІОТЕКА - Книги, видання, автореферати

 
<< HOME
CONTACTS




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы

Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы
Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 15 |

«Вища математика Загальний курс Частина II Математичний аналіз і диференціальні рівняння Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих ...»

-- [ Страница 12 ] --

Оскiльки члени ряду (19) є перiодичними функцiями з перiодом 2, то сума цього ряду у випадку його збiжностi буде також перiодичною з перiодом 2. Отже, для того щоб ряд Фур’є для функцiї f збiгався до цiєї самої функцiї, необхiдно, щоб f була перiодичною з перiодом 2, тобто f (x + 2) = f (x), x (; +).

Якщо f не є перiодичною, а визначеною, наприклад, на деякому вiдрiзку [a; b] [; ], то можна побудувати допомiжну iнтегровну перiодичну функцiю f (x) з перiодом 2 таку, щоб всерединi вiдрiзка [a; b] вона збiгалася з функцiєю f (x). Тодi, якщо ряд Фур’є функцiї f на вiдрiзку [; ] збiгається до f, то для x [a; b] вiн збiгається до f.

У випадку, коли неперiодична функцiя f (x) визначена на деякому вiдрiзку [a; b] [; ], або на R, можна побудувати iнтегровну функцiю g(x), яка на вiдрiзку [; ] збiгається з f (x) i має перiод 2. Якщо ряд Фур’є, складений для g(x), збiгається до g(x), то на вiдрiзку [; ] вiн зображує задану функцiю f (x).

Побудова перiодичної з перiодом 2 функцiї g(x), яка дорiвнює заданiй функцiї f (x) на вiдрiзку [; ] або на деякiй частинi його у випадку, коли f (x) визначена на вiдрiзку [a; b] [; ], називається перiодичним продовженням функцiї f (x).

Для того щоб перiодичне продовження було однозначним i всюди визначеним, треба спочатку g(x) задати на промiжку (; ] або на промiжку [; ). На кiнцях вiдрiзка [; ] за перiодичне продовження функцiї f (x) беруть

–  –  –

Важливу роль вiдiграє продовження кусково-гладкої функцiї f (x), заданої на вiдрiзку [0; ], на вiдрiзок [; ] парно або непарно. У першому випадку на вiдрiзку [; ] матимемо парну функцiю, яка розкладається в неповний ряд Фур’є за косинусами, а в другому – непарну, яка розкладається в ряд Фур’є за синусами. На промiжку (0; ) кожний з цих рядiв збiгається до f (x) у точках неперервностi функцiї f (x).

Оскiльки при парному продовженнi довiльної кусковонеперервної i кусково-гладкої функцiї f (x), заданої на вiдрiзку [0; ], правильнi спiввiдношення

–  –  –

У точках x = 0 i x = 2 сума ряду, що стоїть справа дорiвнює S0 =.

Якщо порiвняти одержаний розклад з тим, який ми отримали в прикладi 3, то побачимо, що вони рiзнi. Це пов’язано з тим, що продовження заданих функцiй рiзнi.

Приклад 5. Розкласти в ряд Фур’є за синусами функцiю f (x) = x2 на промiжку [0; ].

Для того щоб розкласти задану функцiю за синусами, продовжимо її спочатку непарно на iнтервал (; 0), а далi – 2-перiодично на всю числову вiсь. Позначимо це продовження через f на вiдрiзку [0; ] кусково-диференцiйовна i Оскiльки функцiя f неперервна на [0; ), то вона згiдно з теоремою 1 розкладається в

–  –  –

У випадку, коли треба було б розкласти функцiю f (x) = x2, x [0; ], в ряд Фур’є за косинусами, то цей розклад збiгався б з тим, який одержано в прикладi 2.

–  –  –

Ця сума, очевидно, дорiвнює f (x0 ), якщо f є неперервною в точцi x0.

Нехай кусково-неперервна i кусково-диференцiйовна функцiя f (x) задана на вiдрiзку [0; l]. Її можна продовжити рiзним чином на вiдрiзок [l; 0], зокрема: 1) парно, 2) непарно.

У першому випадку на вiдрiзку [l; l] одержимо парну функцiю. Для неї bn = 0, n N, an, n Z+, обчислюються за формулами (23), а ряд Фур’є має вигляд (24).

У другому випадку дiстаємо непарну функцiю на вiдрiзку [l; l]. Для неї an = 0, n Z+, bn, n N, знаходяться за формулами (25), а ряд Фур’є набуває вигляду (26).

На промiжку (0; l) кожний з рядiв (24) i (26) збiгається до f (x) у точках неперервностi f.

–  –  –

Зауваження. Якщо порiвнювати розклад функцiї в степеневий ряд iз розкладом її в ряд Фур’є, то останнiй має iстотнi переваги. Це пов’язано з тим, що при розкладi в ряд Фур’є достатньо кускової диференцiйовностi i неперервностi функцiї у той час, як для розкладу в степеневий ряд, взагалi кажучи, мало навiть нескiнченної диференцiйовностi. Тому клас функцiй, якi розкладаються в ряд Фур’є значно ширший, нiж клас функцiй, якi розкладаються в степеневий ряд.

3.4. Подвiйнi ряди Фур’є. Аналогiчно, як i для випадку функцiї однiєї змiнної, введемо поняття ряду Фур’є функцiї двох змiнних.

Нехай P = {(x; y) R2 : x [a; b], y [c; d]}. Розглянемо сукупнiсть R(P ) всiх iнтегровних на цьому прямокутнику функцiй двох змiнних. Зокрема, всi неперервнi функцiї належать до цiєї сукупностi. Простiр R(P ) є лiнiйним простором, а добуток двох iнтегровних функцiй є знову iнтегровною функцiєю, тобто належить R(P ).

У просторi R(P ) введемо поняття скалярного добутку (f, g) функцiй f i g, а саме:

–  –  –

Легко можна переконатися, що, введений за допомогою формули (27) скалярний добуток, має такi самi властивостi 1)

– 4), як скалярний добуток iнтегровних на вiдрiзку функцiй однiєї змiнної, що описанi в пунктi 3.1.1.

Функцiї f R(P ) i g R(P ) називаються ортогональними, якщо їхнiй скалярний добуток дорiвнює нулю, тобто (f, g) = 0.

Розглянемо випадок, коли P = {(x; y) R2 : x [; ], y [; ]} або P = {(x; y) R2 : x [a; a + 2], y [b; b + 2]}, де a, b – деякi дiйснi числа. Якщо скористатися рiвностями (4), то легко можна довести ортогональнiсть системи функцiй

–  –  –

§1. Основнi поняття про диференцiальнi рiвняння При розв’язуваннi багатьох прикладних задач i вивченнi закономiрностей суспiльних процесiв одержують математичнi моделi, в основi яких лежать диференцiальнi рiвняння. Диференцiальним називається рiвняння, яке зв’язує незалежну змiнну або змiннi, шукану функцiю та похiднi рiзних порядкiв вiд цiєї функцiї. При цьому рiвняння може не мiстити у явному виглядi незалежну змiнну (змiннi) i шукану функцiю, але обов’язково повинно мiстити одну або декiлька похiдних шуканої функцiї.

Якщо шукана функцiя залежить вiд однiєї змiнної, то диференцiальне рiвняння називається звичайним, якщо ж вiд декiлькох – рiвнянням з частинними похiдними. Ми розглядатимемо тут тiльки звичайнi диференцiальнi рiвняння.

У загальному випадку диференцiальне рiвняння можна записати у виглядi

F (x, y, y,..., y (n) ) = 0, (1)

де F – деяка функцiя вiд n + 2 змiнних, n N. Порядок n старшої похiдної, яка входить в (1) називається порядком диференцiального рiвняння. Наприклад, рiвняння y = 3x2, y y = 0 – першого порядку; рiвняння y + 2 y = 0, y x2 = y

– другого порядку; рiвняння y (4) + y ln x = x – четвертого порядку.

Розв’язком диференцiального рiвняння (1) називається функцiя y = (x), яка визначена i неперервна разом зi своїми похiдними до порядку рiвняння на промiжку X i така, що при пiдстановцi її в рiвняння перетворює його в тотожнiсть

–  –  –

Задача про знаходження розв’язку диференцiального рiвняння називається задачею iнтегрування диференцiального рiвняння. Графiк розв’язку диференцiального рiвняння називається iнтегральною кривою або iнтегральною лiнiєю.

Приклад 1. Розв’язати рiвняння y = x2.

Розв’язати це рiвняння означає, що треба знайти функцiю y, похiдна якої дорiвнює x2. З iнтегрального числення вiдомо, що такою x3 функцiєю є y = + C, де C R.

3 З прикладу 1 видно, що розв’язок рiвняння визначається неоднозначно, тобто диференцiальне рiвняння визначає сiм’ю iнтегральних лiнiй на площинi. Для видiлення конкретного розв’язку треба задати додаткову умову. Цiєю умовою є y(x0 ) = y0, або умова того, що iнтегральна лiнiя проходить через задану точку (x0 ; y0 ).

Загальним розв’язком диференцiального рiвняння (1) nго порядку називається такий його розв’язок

y = (x, C1,..., Cn ), (2)

який є функцiєю змiнної x i n довiльних незалежних сталих C1, C2,..., Cn, тобто сталих, що не зв’язанi мiж собою жодними спiввiдношеннями.

Частинним розв’язком диференцiального рiвняння називається розв’язок, який одержується iз загального розв’язку при деяких конкретних числових значеннях сталих C1, C2,..., Cn.

У наступних параграфах ми уточнимо поняття загального i частинного розв’язкiв диференцiального рiвняння, а також наведемо приклади математичних моделей деяких явищ, якi описуються диференцiальними рiвняннями.

§2. Диференцiальнi рiвняння першого порядку Диференцiальне рiвняння першого порядку зв’язує незалежну змiнну, шукану функцiю та її першу похiдну. В загальному випадку його можна записати у виглядi

–  –  –


Купить саженцы и черенки винограда

Более 140 сортов столового винограда.


де x – незалежна змiнна, y – шукана функцiя, y – її похiдна, а F – вiдома функцiя своїх аргументiв.

Рiвняння (3) може не мiстити у явному виглядi x i y, але обов’язково мiстить y.

Розв’язуючи рiвняння (3), якщо це можливо, вiдносно y, дiстанемо y = f (x, y). (4) Рiвняння (4) називається рiвнянням першого порядку, розв’язаним вiдносно похiдної.

Розв’язком диференцiального рiвняння першого порядку називається функцiя y = (x), яка неперервна разом iз своєю похiдною на промiжку X i при пiдстановцi її в рiвняння, перетворює його в тотожнiсть, тобто

F (x, (x), (x)) = 0, x X.

Як випливає з прикладу 1 з §1, сукупнiсть розв’язкiв диференцiального рiвняння першого порядку мiстить довiльну сталу, змiнюючи яку ми одержуватимемо рiзнi розв’язки рiвняння. Для видiлення з цiєї множини конкретного розв’язку треба задати деяку додаткову умову, а саме:

–  –  –

у деякiй областi змiни x i y, то задача (4), (5) має єдиний розв’язок y = (x), якщо (x0 ; y0 ).

Геометрично це означає, що через кожну внутрiшню точку (x0 ; y0 ) областi проходить єдина iнтегральна крива.

Задача (4), (5), тобто задача, у якiй треба знайти розв’язок рiвняння (4), що задовольняє початкову умову (5), називається задачею Кошi.

Якщо умови теореми Кошi не виконуються у деяких точках (x; y), то цi точки називаються особливими точками диференцiального рiвняння. У цих точках є розривною або функf цiя f або її частинна похiдна. Через кожну таку точку моy же проходити декiлька iнтегральних кривих, або не проходити жодна.

Дамо означення загального й частинного розв’язкiв рiвняння (4), права частина f якого задовольняє у деякiй областi умови теореми Кошi.

Функцiя y = (x, C) називається загальним розв’язком рiвняння (4) в областi, якщо вона задовольняє умови:

1) при будь-яких значеннях сталої C, якi належать деякiй множинi, функцiя y = (x, C) є розв’язком рiвняння (4);

2) яка б не була точка (x0 ; y0 ) iснує єдине значення сталої C = C0 таке, що розв’язок y = (x, C0 ) задовольняє початкову умову (5).

Значення C = C0 знаходиться з умови y0 = (x0, C0 ).

Будь-який розв’язок y = (x, C0 ) рiвняння (4), який одержується iз загального розв’зку y = (x, C) при конкретному значення C = C0, називається частинним розв’язком.

Якщо загальний розв’язок диференцiального рiвняння знайдено у виглядi, не розв’язаному вiдносно y, тобто у виглядi (x, y, C) = 0, то вiн називається загальним iнтегралом диференцiального рiвняння.

Перейдемо тепер до розгляду методiв розв’язування диференцiальних рiвнянь першого порядку. Взагалi кажучи, не iснує єдиного методу знаходження розв’язкiв рiвняння (4) для довiльної правої частини f. Тому ми розглянемо методи розв’язування (методи iнтегрування) цього рiвняння лише у деяких частинних випадках.

2.1. Рiвняння з вiдокремлюваними змiнними та звiднi до них. Диференцiальне рiвняння першого порядку називається рiвнянням з вiдокремлюваними змiнними, якщо його можна подати у виглядi

–  –  –

Приклад 3. Скласти математичну модель природного росту випуску продукцiї i знайти функцiю, що описує цей рiст.

Нехай деяка продукцiя продається за фiксованою цiною p. Позначимо через f (t) кiлькiсть продукцiї, реалiзованої на момент часу t. Тодi на цей момент матимемо доход, що дорiвнює pf (t). Нехай частина вказаного доходу витрачається на iнвестицiї у виробництво реалiзованої продукцiї, тобто

I(t) = mpf (t), (10)

де m – норма iнвестицiй, 0 m 1.

Якщо припустити, що ринок не насичений, тобто продукцiя реалiзується повнiстю, то в результатi розширення виробництва буде одержано доход, частина якого знову використовуватиметься для розширення випуску продукцiї. Це приведе до зростання швидкостi випуску (акселерацiї), причому швидкiсть випуску пропорцiйна збiльшенню iнвестицiй, тобто

–  –  –

де k = lmp. Отже, процес природного росту випуску продукцiї описується диференцiальним рiвнянням (12), яке є рiвнянням з вiдокремлюваними змiнними.

Оскiльки в початковий момент часу t0 випуск продукцiї дорiвнював f0, то маємо початкову умову

–  –  –

Знайшовши iнтеграл у лiвiй частинi (18), i повернувшись до змiнної y, дiстанемо загальний розв’язок рiвняння (16). При цьому треба також перевiрити, чи не втрачено розв’язок, коли (z) z = 0.

Приклад 4. Розв’язати рiвняння (xy + y 2 )dx x2 dy = 0.

–  –  –

де p(x) i q(x) – заданi функцiї, якi визначенi й неперервнi на вiдрiзку [a; b].

Назва рiвняння пояснюється тим, що невiдома функцiя y та її похiдна y входять в рiвняння лiнiйно, тобто у першому степенi.

Якщо q(x) = 0, x [a; b], то рiвняння (19) називається лiнiйним однорiдним рiвнянням, якщо ж q(x) = 0, x [a; b], то – лiнiйним неоднорiдним.

Для знаходження загального розв’язку рiвняння (19) скористаємося методом варiацiї довiльної сталої.

Розглянемо спочатку лiнiйне однорiдне рiвняння

–  –  –

яке називається рiвнянням Бернуллi.

Якщо = 0, то рiвняння Бернуллi перетворюється у лiнiйне рiвняння (19), а при = 1 воно переходить в рiвняння з вiдокремлюваними змiнними.

Вважаючи, що y = 0, = 0, = 1, подiлимо обидвi частини рiвняння (24) на y. Тодi дiстанемо рiвняння

–  –  –

При знаходженнi iнтеграла P (x, y)dx величина y розглядається як стала, а тому стала iнтегрування є функцiєю вiд y. Для визначення цiєї функцiї продиференцiюємо рiвнiсть (31) по y i прирiвняємо до Q(x, y). Тодi одержимо, що

–  –  –



Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 15 |
Похожие работы:

«Андрій Білик БІБЛІЙНІ ЖІНКИ П’ятикнижжя Мойсея ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА — БОГДАН УДК 82-97 ББК 84.4 (УКР) 6 Б 6 Рецензенти: доктор філософських наук А. С. Жаловага, Український гуманітарний інститут (Київ); релігієзнавець, доктор фізико-математ. наук, професор І. А. Климишин, Національний університет ім. Василя Стефаника (Івано-Франківськ). Рекомендовано до друку вченою радою Українського гуманітарного інституту (Київ). Протокол № 2 від 23 грудня 2009 року. Дозволяється розповсюджувати в...»

«ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ ПОЛЄТАЄВ ДМИТРО ОЛЕКСАНДРОВИЧ УДК 537.867:543.275.1 ЕЛЕКТРОДИНАМІЧНІ ОСОБЛИВОСТІ ВЗАЄМОДІЇ ПОЛІВ НВЧ АПЕРТУРНИХ РЕЗОНАТОРНИХ ВИМІРЮВАЛЬНИХ ПЕРЕТВОРЮВАЧІВ З ДІЕЛЕКТРИЧНИМИ ОБ’ЄКТАМИ 01.04.01 – фізика приладів, елементів і систем АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук Харків – 2010 Дисертацією є рукопис. Робота виконана в Таврійському національному університеті ім. В.І. Вернадського Міністерства...»

«Ігрові форми роботи на уроках фізики та математики Виникнення зацікавлення в учнів предметом залежить в значній мірі від методики викладання, від того, наскільки вміло побудовано навчальний процес. Зараз, коли в школі відбувається спад позакласної роботи, коли збільшується розумове навантаження майже на всіх уроках, слід задуматися над тим, як підтримати в учнів інтерес до матеріалу, що вивчається, як активізувати мислення учнів на уроці, стимулювати їх до самостійного пошуку, здобуття...»

«УДК 39:34.613.4.477 ТЕРЕС Наталія Володимирівна, канд. іст. наук, доц. кафедри етнології та краєзнавства Київського національного університету імені Тараса Шевченка ТРАДИЦІЙНІ ЗНАННЯ: ПРОБЛЕМИ ЗБЕРЕЖЕННЯ ТА ОХОРОНИ Проаналізовано міжнародний досвід охорони та збереження традиційних знань, міжнародну та українську практику охорони традиційної медицини як важливого компонента традиційної культури. Проанализировано международный опыт охраны и сбережения традиционных знаний, международную и...»

«ВИПУСК 28’2011 Серія 5. Педагогічні науки: реалії та перспективи Сергієнко В. П. Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова, Садовий М. І., Трифонова О. М. Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА РОЗВИТКУ ШКІЛЬНОГО ПІДРУЧНИКА З ФІЗИКИ У статті розкривається проблема створення та формування змісту шкільного підручника, який в сучасних умовах розвитку суспільства виконує повчальну, виховну і розвивальну роль, зростає...»

«Міністерство освіти і науки України Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна Головна геофізична обсерваторія імені О.І. Воєйкова Комісія з екології науково-методичної ради МОНУ Навчально-наукова серія «Бібліотека еколога» А. Н. Некос, Г. Г. Щукін, В. Ю. Некос Дистанційні методи досліджень в екології Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів екологічних спеціальностей вищих навчальних закладів Харків – 2007 УДК 504:627.728(072.8) ББК...»

«ЛЬВІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені ІВАНА ФРАНКА Петрович Роман Йосипович УДК 519.6 АГРЕГАТИВНО-ІТЕРАТИВНІ АЛГОРИТМИ ДЛЯ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ З ОБМЕЖЕНИМ И ОПЕРАТОРАМИ Спеціальність 01.01.07 обчислювальна математика Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук ЛЬВІВ-1999 Дисертацією є рукопис. Робота виконана в Державному університеті Львівська політехніка Міністерства освіти України. Науковий керівник д. ф.-м. н., проф. Слоньовський Роман...»

«УДК 54+53(477)«20» КУЙБІДА Віктор Віталійович, д-р іст. наук., доцент каф. біології, директор Ін-ту фізичного виховання та природознавства ДВНЗ «Переяслав-Хмельницький держ. пед. ун-т ім. Г. Сковороди» (м. Переяслав-Хмельницький) ХІМІЯ І ФІЗИКА ТА ЇХ ТЕРМІНОЛОГІЇ (СУЧАСНИЙ ЕТАП) Розвиток суспільства, науково-технічне зростання, посилення міжнародної співпраці, обмін інформацією у фізичній та хімічній галузях не можуть обійтися без термінологічної уніфікації і взаємопроникнення назв та понять у...»

«Міністерство транспорту та зв’язку України Державна адміністрація зв’язку Одеська національна академія зв’язку ім. О.С. Попова Кафедра основ схемотехніки І. П. ПАНФІЛОВ, Ю. В. ФЛЕЙТА ЕЛЕКТРОННІ ТА КВАНТОВІ ПРИЛАДИ НВЧ Навчальний посібник Модуль Квантові прилади НВЧ Напрям підготовки: 0907 – Радіотехніка Спеціальність: апаратура радіозв’язку, радіомовлення і телебачення ЗАТВЕРДЖЕНО радою навчально-наукового інституту радіо, телебачення, електроніки. Протокол № 4 від 23.12.2009 р. ОДЕСА – УДК...»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ «Київський політехнічний інститут» ОБРОБКА ПОВЕРХОНЬ З ПОКРИТТЯМ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання лабораторних робіт для студентів за напрямом підготовки 6.050504 «Зварювання» Затверджено Вченою радою ЗФ, НТУУ «КПІ» Київ 2013 Обробка поверхонь з покриттям: Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт для студентів за напрямом підготовки 6.050504 «Зварювання»/ Укладачі: В. І. Копилов, А.В. Чорний, Київ: 2013. –...»




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы


 
2013 www.uk.x-pdf.ru - «Безкоштовна електронна бібліотека»