WWW.UK.X-PDF.RU

БЕЗКОШТОВНА ЕЛЕКТРОННА БІБЛІОТЕКА - Книги, видання, автореферати

 
<< HOME
CONTACTS




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы

Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы
Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 15 |

«Вища математика Загальний курс Частина II Математичний аналіз і диференціальні рівняння Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих ...»

-- [ Страница 11 ] --

Вивчення знакозмiнних рядiв розпочнемо з частинного випадку рядiв, у яких знаки їхнiх членiв чергуються, тобто рядiв, де за кожним додатним членом слiдує вiд’ємний, а за кожним вiд’ємним – додатний. Для зручностi вважатимемо, що перший член такого ряду додатний. Тодi ряд, знаки членiв якого чергуються, можна подати у виглядi

–  –  –

= (p1 p2 ) + (p3 p4 ) +... + (p2n1 p2n ).

Усi доданки в дужках додатнi, тому послiдовнiсть частинних сум {S2n, n N} є зростаючою. Доведемо, що вона обмежена.

Для цього подамо S2n у виглядi

–  –  –

Отже, послiдовнiсть {S2n, n N} зростаюча й обмежена, а тому має скiнченну границю lim S2n = S, причому S p1.

n Доведемо, що й послiдовнiсть частинних сум непарного числа членiв має ту саму границю S. Справдi, S2n+1 = S2n +p2n+1.

Перейшовши в цiй рiвностi до границi при n i скориставшись другою умовою теореми, одержимо lim S2n+1 = lim (S2n +p2n+1 ) = lim S2n + lim p2n+1 = S+0 = S.

n n n n Звiдси випливає, що послiдовнiсть частинних сум {Sn, n N} ряду (13) збiгається до S. Це означає, що ряд (13) збiгається i його сума S p1.

Наслiдок 5. Якщо за суму ряду Лейбнiца взяти наближено суму його n перших членiв, то похибка при цьому за абсолютною величиною не перевищить першого з вiдкинутих членiв.

Приклад 11. Дослiдити на збiжнiсть ряд

–  –  –

1 2 + 2 + 2 2 2 +....

Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин 1+ + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +....

Цей ряд є збiжним, як доведено в прикладi 4. Звiдси випливає, що заданий ряд збiгається абсолютно.

Приклад 14. Дослiдити на збiжнiсть ряд 1 + +....

Ряд з абсолютних величин

–  –  –

розбiгається, як доведено в прикладi 5. У той же час вихiдний ряд збiгається, бо виконуються умови теореми 10. Це означає, що ряд збiгається умовно.

1.6. Властивостi сум збiжних числових рядiв. З попереднього випливає, що поняття суми нескiнченного ряду чисел iстотно вiдрiзняється вiд поняття суми скiнченного числа доданкiв, бо воно використовує граничний перехiд. У той же час деякi властивостi звичайних сум переносяться й на випадок сум рядiв, але, як правило, при виконаннi певних додаткових умов. У цьому пунктi розглянемо цi умови, причому детально розглянемо випадки, коли властивостi сум скiнченної кiлькостi доданкiв i сум числових рядiв вiдрiзняються iстотно.

Розглянемо сполучну властивiсть суми. Нехай задано числовий ряд (1). Згрупуємо довiльним чином в дужки члени цього ряду без змiни порядку їхнього слiдування. Тодi одержимо новий ряд

–  –  –

З того, що збiгається ряд (16) не випливає збiжнiсть ряду (1). Це пiдтверджують приклади.

Розглянемо ряд типу (16) (1 1) + (1 1) +... + (1 1) +....

Цей ряд збiгається i його сума дорiвнює нулю. Однак, вiдповiдний ряд типу (1) 1 1 + 1 1 +... + 1 1 +..., як встановлено в прикладi 2 п.1.1, є розбiжним.

Доведено, що коли вирази в кожнiй дужцi ряду (16) зберiгають знак, то iз збiжностi ряду (16) випливає збiжнiсть ряду (1) i рiвнiсть їхнiх сум.

Розглянемо переставну властивiсть ряду. Переставимо довiльним чином члени ряду (1) i утворимо ряд

–  –  –

Якщо члени ряду (1) довiльнi за знаком, то можна довести загальнiше твердження.

Теорема 12. Якщо ряд (1) абсолютно збiжний, то й ряд (18) також абсолютно збiжний i суми їхнiх рядiв однаковi, тобто для абсолютно збiжних рядiв має мiсце переставна властивiсть.

Умовно збiжнi ряди мають властивiсть, яка не має аналогу для скiнченних сум.

Теорема 13. Якщо ряд (1) умовно збiжний, то для довiльного числа A (включаючи й символ ±), перестановкою членiв рядку (1) можна утворити ряд (18), який має своєю сумою число A (або ±).

–  –  –

1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 1.

2. 1) збiгається; 2) розбiгається; 3) збiгається; 4) розбiгається;

5) розбiгається.

3. 1) збiгається; 2) збiгається; 3) розбiгається; 4) збiгається; 5) збiгається; 6) розбiгається; 7) розбiгається.

4. 1) збiгається; 2) розбiгається; 3) збiгається; 4) збiгається; 5) розбiгається; 6) збiгається; 7) розбiгається.

5. 1) збiгається умовно; 2) збiгається умовно; 3) розбiгається;

4) збiгається абсолютно; 5) збiгається абсолютно; 6) збiгається абсолютно; 7) збiгається умовно.

–  –  –

Цей числовий ряд може збiгатися або розбiгатися. Якщо вiн збiгається, то точка x0 називається точкою збiжностi функцiонального ряду (1). Якщо ж ряд (2) розбiгається, то точка x0 називається точкою розбiжностi функцiонального ряду.

Сукупнiсть D усiх точок збiжностi функцiонального ряду називається областю його збiжностi. Очевидно, що D X.

Частинна сума функцiонального ряду, тобто сума перших його n членiв

Sn (x) = u1 (x) + u2 (x) +... + un (x), n N,

є функцiєю змiнної x X.

З означення областi збiжностi D функцiонального ряду випливає, що для довiльної точки x цiєї областi iснує скiнченна границя послiдовностi частинних сум {Sn (x), n N} при n. У точках, якi не належать областi збiжностi, послiдовнiсть частинних сум {Sn (x), n N} не має скiнченої границi.

Зрозумiло, що сумою S функцiонального ряду є деяка функцiя змiнної x, визначена в областi збiжностi ряду. У цьому випадку пишуть

–  –  –

|Sn (x) S(x)|, x D.

Ця збiжнiсть називається поточковою збiжнiстю ряду (1) на множинi D.

Якщо в цьому означеннi номер n0 залежить тiльки вiд i не залежить вiд x, тобто n0 = n0 (), то кажуть, що послiдовнiсть {Sn, n N} збiгається рiвномiрно до функцiї S(x), а ряд (1) у цьому випадку називають рiвномiрно або правильно збiжним на множинi D.

Отже, функцiональний ряд (1) називається рiвномiрно збiжним на множинi D, якщо для кожного 0 iснує номер n0 N, залежний лише вiд, такий, що для всiх номерiв n n0 i довiльних x D, має мiсце нерiвнiсть |Sn (x) S(x)|.

Зауважимо, що коли нерiвнiсть |Sn (x)S(x)| справджується для всiх x D, то sup |Sn (x)S(x)|. Тому означення рiвxD номiрної збiжностi ряду (1) можна сформулювати i по-iншому:

ряд (1) називається рiвномiрно збiжним на множинi D, якщо lim sup |Sn (x) S(x)| = 0.

n xD Розглянемо рiзницю S(x) Sn (x) = uk (x) rn (x), x D, n N, k=n+1 яка називається залишком ряду (1). Якщо скористатися цим поняттям, то означення рiвномiрної збiжностi ряду (1) можна подати у такiй формi: ряд (1) називається рiвномiрно збiжним на множинi D, якщо lim sup |rn (x)| = 0.

n xD Користуватися означенням при дослiдженнi функцiонального ряду на рiвномiрну збiжнiсть не завжди легко, а тому наведемо найуживанiшу достатню ознаку рiвномiрної збiжностi.

<

–  –  –

є скiнченною лише для x [1; 1]. Тому заданий ряд є поточково збiжним на промiжку D = [1; 1] i його сума S(x) = x, x D.

Поза вiдрiзком [1; 1] рiвномiрної збiжностi не може бути, бо з рiвномiрної збiжностi випливає поточкова. Отже, треба дослiдити ряд на рiвномiрну збiжнiсть на промiжку D = [1; 1]. Оскiльки

–  –  –

називається степеневим.

Числа c0, c1,..., cn,... називаються коефiцiєнтами степеневого ряду.

З’ясуємо, який вигляд має область збiжностi степеневого ряду (3). Розглянемо додатний ряд, складений з абсолютних величин членiв цього ряду

–  –  –

i застосуємо для його дослiдження ознаку Даламбера. Для цього знайдемо границю вiдношення наступного члена an+1 = |cn+1 xn+1 | до попереднього an = |cn xn | при n

–  –  –

то ряд збiгається на всiй числовiй осi (; +).

2.2.2. Властивостi степеневих рядiв. Розглянемо ряд (3), що збiгається на iнтервалi (R; R), де R 0 – його радiус збiжностi. Тодi кожному x0 (R; R) вiдповiдає сума f (x0 ) числового ряду

–  –  –

У цьому випадку кажуть, що степеневий ряд збiгається до f (x) на промiжку (R; R) або, що функцiя f (x) розкладається в степеневий ряд на (R; R).

Доведено [8], що сума f степеневого ряду (3) є неперервною i диференцiйовною функцiєю на всьому iнтервалi збiжностi.

Наведемо без доведення деякi теореми про властивостi степеневих рядiв.

Теорема 3 (про почленне диференцiювання степеневого ряду). Нехай функцiя f розкладається на iнтервалi (R; R) в степеневий ряд (5). Розглянемо степеневий ряд


Купить саженцы и черенки винограда

Более 140 сортов столового винограда.


c1 + 2c2 x +... + ncn xn1 +..., (6)

одержаний почленним диференцiюванням ряду (5). Тодi:

1) ряд (6) має той самий радiус збiжностi R, що й ряд (5);

2) сума ряду (6) дорiвнює f (x), x (R; R).

Застосовуючи теорему 2 повторно, дiстанемо, що друга похiдна f (x) також iснує i дорiвнює сумi ряду, одержаного двократним диференцiюванням ряду (5). Аналогiчнi висновки можна зробити для третьої похiдної i т.д.

Отже, функцiя f (x), яка розкладається в степеневий ряд (5) на iнтервалi (R; R), нескiнченно диференцiйовна на цьому iнтервалi. Розклад в степеневий ряд будь-якої похiдної одержується почленним диференцiюванням ряду (5). При цьому радiуси збiжностi вiдповiдних рядiв дорiвнюють радiусу збiжностi ряду (5).

Теорема 4 (про почленне iнтегрування степеневого ряду). Якщо функцiя f (x) розкладається в степеневий ряд на iнтервалi (R; R), то вона iнтегровна на цьому iнтервалi.

При цьому iнтеграл вiд суми ряду дорiвнює сумi iнтегралiв вiд членiв ряду, тобто степеневий ряд можна почленно iнтегрувати на iнтервалi збiжностi.

Iншими словами, якщо [x1 ; x2 ] (R; R), то x2 x2

–  –  –

який замiною x x0 = y зводиться до ряду (3).

Якщо функцiя f є сумою ряду (7), то кажуть, що вона розкладається в ряд за степенями (x x0 ).

Усi властивостi ряду (7) i його суми, аналогiчнi тим, що правильнi для ряду (5) i його суми.

2.3. Розклад функцiї в степеневий ряд. Для застосування важливим є вмiння розкладати функцiю f в степеневий ряд на деякому вiдрiзку [r; r] або iнтервалi (r; r), r 0.

При цьому треба дати вiдповiдь на такi два запитання:

1) чи можна задану функцiю подати на цьому вiдрiзку або iнтервалi у виглядi суми деякого степеневого ряду?

2) якщо так, то як знайти цей ряд?

Спочатку дамо вiдповiдь на друге запитання. Припустимо, що функцiя f на деякому вiдрiзку [r; r] розкладена в степеневий ряд

–  –  –

Знайдемо коефiцiєнти c0, c1,..., cn,... цього ряду.

З попереднього пункту вiдомо, що степеневий ряд (8) можна почленно диференцiювати довiльну кiлькiсть разiв на iнтервалi (r; r). Тому для будь-якого x (r; r) маємо

–  –  –

Покладаючи в цих рiвностях, а також в розкладi (8) x = 0, дiстанемо f (0) = c0, f (0) = c1, f (0) = 2·1·c2, f (3) (0) = 3·2·1·c3,..., f (n) (0) = n(n 1) ·... · 3 · 2 · 1 · cn. Звiдси одержуємо формулу

–  –  –

У цьому параграфi поширимо поняття ортонормованостi на системи функцiй, якi розглядаються у певному просторi, а також вивчимо питання розкладу довiльної функцiї по базису, утвореному цiєю системою.

Розглянемо на деякому вiдрiзку [a; b] сукупнiсть R([a; b]) усiх iнтегровних на цьому вiдрiзку функцiй. До них, зокрема, належить кожна неперервна на вiдрiзку [a; b] функцiя. Ця множина утворює лiнiйний простiр, тобто з того, що {f, g} R([a; b]) випливає, що будь-яка їхня лiнiйна комбiнацiя f + g також належить до цього простору при довiльних {, } R.

У просторi R([a; b]) введемо поняття скалярного добутку функцiй (f, g), який означимо рiвнiстю b

–  –  –

Формули (9), (10) називають формулами Ейлера-Фур’є, а самi числа ak, k Z+, bk, k N, якi визначаються цими формулами, називають коефiцiєнтами Фур’є для функцiї f (x), x [; ].

Отже, якщо функцiя f (x) розкладається на вiдрiзку [; ] в рiвномiрно збiжний тригонометричний ряд (6), то коефiцiєнти цього ряду визначаються за формулами Ейлера-Фур’є, тобто є коефiцiєнтами Фур’є функцiї f.

Розглянемо тепер довiльну 2-перiодичну та iнтегровну на вiдрiзку [; ] функцiю f (x). Для такої функцiї за формулами (9), (10) знайдемо коефiцiєнти Фур’є a0, ak, bk, k N.

Складемо тригонометричний ряд (5), де a0, ak, bk, k N, – коефiцiєнти Фур’є функцiї f. Цей ряд називається рядом Фур’є для функцiї f. Оскiльки про збiжнiсть ряду (5) нiчого не вiдомо, то виникає запитання, коли вiн збiгається i чи його сумою є f (x).

Якщо функцiя f парна, то функцiї f (x) sin nx, n N, непарнi на вiдрiзку [; ], а тому згiдно з формулами (9), одержуємо, що bn = 0, n N. Коефiцiєнти an знаходяться за формулами 2 an = f (x) cos nxdx, n Z+. (11)

3.2. Розклад функцiй в ряд Фур’є.

3.2.1. Розклад в ряд Фур’є 2-перiодичних функцiй.

Ранiше було визначено, що для розкладу функцiї f в ряд Фур’є (6) необхiдно, щоб вона була 2-перiодичною та iнтегровною на вiдрiзку [; ] або на будь-якому вiдрiзку довжини 2. Якщо формально побудувати ряд Фур’є для такої функцiї, то вiн не обов’язково збiжний, а у випадку збiжностi виникає запитання, чи є його сумою функцiя f (x), за допомогою якої знаходилися коефiцiєнти Фур’є. Виявляється, що збiжнiсть ряду Фур’є до заданої функцiї має мiсце для широкого класу функцiй. Нижче будуть наведенi деякi достатнi умови збiжностi ряду Фур’є, а, отже, можливостi розкладу функцiї f в ряд Фур’є. Для цього розглянемо поняття кусково-диференцiйовної функцiї.

Функцiя f (x), яка визначена на вiдрiзку [a; b], називається кусково-диференцiйовною на цьому вiдрiзку, якщо точками a = a0 a1 a2... aj aj+1... an = b його можна розбити на скiнченну кiлькiсть вiдрiзкiв [aj ; aj+1 ], j {0, 1,..., n 1} таких, що всерединi кожного iнтервалу (aj ; aj+1 ) функцiя f диференцiйовна, а на кiнцях вiдрiзкiв i сама функцiя i похiдна вiд неї першого порядку мають однобiчнi скiнченнi границi f (aj + 0), f (aj+1 0), f (aj + 0), f (aj+1 0).

Отже, кусково-диференцiйовна функцiя f (x) та її похiдна f (x) можуть мати на вiдрiзку лише скiнченну кiлькiсть точок розриву першого роду, а тому функцiя f є iнтегровною на вiдрiзку [a; b].

Теорема 1. Якщо функцiя f (x) перiодична з перiодом 2 i кусково-диференцiйовна на вiдрiзку [; ] або будь-якому вiдрiзку довжиною 2, то її ряд Фур’є (5) збiгається в кожнiй точцi x0 i має суму f (x0 + 0) + f (x0 0) S0 =, (15) тобто a0 + (an cos nx0 + bn sin nx0 ) = S0.

(16) 2 n=1

–  –  –

З попереднього випливає, що коли функцiя f (x) на вiдрiзку [; ] розкладається в рiвномiрно збiжний тригонометричний ряд, то цей ряд єдиний i вiн є рядом Фур’є для функцiї f (x).



Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 15 |
Похожие работы:

«Вінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського ОСВІТНЄ СЕРЕДОВИЩЕ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ МАЙБУТНІХ ПЕДАГОГІВ ЗАСОБАМИ ІКТ Вінниця 2011 УДК 378.091.3 : 004.9 ББК 74.58с51 О-7 Рекомендовано до друку вченою радою Вінницького державного педагогічного університету імені Михайла Коцюбинського (протокол № 11 від 27 квітня 2011 року) Рецензенти: Клочко В.І., доктор педагогічних наук, професор, Вінницький національний технічний університет Козяр М.М., доктор педагогічних наук,...»

«Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ З МАТЕМАТИКИ для абітурієнтів фізико-математичного факультету Кіровоград 200 ББК Тестові завдання з математики для абітурієнтів фізикоматематичного факультету. За редакцією Ю.І. Волкова.– Кіровоград: РВЦ КДТУ ім. В.Винниченка. 2002.–77с. Автори: Волков Ю.І., Войналович Н.М., Малюк Н.Г. У посібнику подані тестові завдання з математики, які призначені для проведення вступних іспитів на...»

«НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені М. П. Драгоманова МЄНЯЙЛОВ Сергій Миколайович УДК 378.016 : 53 МЕТОДИЧНІ ЗАСАДИ КОНТРОЛЮ ПІЗНАВАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ СТУДЕНТІВ ВИЩИХ ТЕХНІЧНИХ НАВЧАЛЬНИХ ЗАКЛАДІВ ІЗ ЗАГАЛЬНОЇ ФІЗИКИ 13.00.02 – теорія та методика навчання (фізика) Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата педагогічних наук КИЇВ – 2008 Дисертацією є рукопис. Робота виконана в Національному педагогічному університеті імені М.П. Драгоманова, Міністерство освіти і науки...»

«ЕЛЕКТРОМАГНІТНИЙ МОНІТОРИНГ – ГЕОЕЛЕКТРИКА, ЕЛЕКТРОРОЗВІДКА, ЕЛЕКТРИЧНИЙ КАРОТАЖ, ЕЛЕКТРОМАГНІТНЕ ПРОСВІЧУВАННЯ УДК 550.38 Климкович Т.А., м.н.с., Городиський Ю.М., канд. фіз.-мат. н., с.н.с., Кузнєцова В.Г., канд. тех. н., с.н.с., Максимчук В.Ю., д.ф.-м.н., директор Карпатське відділення Інституту геофізики ім. С.І.Субботіна НАН України Україна, 79060 Львів, вул.Наукова, 3-б Тел.: +38(0322) 64-85-63; Факс: +38(0322) 64-85-63; е-mail: depart10@cb-igph.lviv.ua ОСОБЛИВОСТІ ЧАСОВИХ ЗМІН ВЕКТОРІВ...»

«ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ДОНЕЦЬКЕ ВІДДІЛЕННЯ НАУКОВОГО ТОВАРИСТВА ім. ШЕВЧЕНКА Білецький В.С., Смирнов В.О. ПЕРЕРОБКА І ЯКІСТЬ КОРИСНИХ КОПАЛИН (курс лекцій) Рекомендовано Навчально-видавничою радою Донецького національного технічного університету (Протокол № 4 від 27.11.05.) Донецьк “Східний видавничий дім” ББК 33.4УДК 622. С 50 Білецький В.С., Смирнов В.О. Переробка і якість корисних копалин. Донецьк: Східний видавничий дім, 2005.324. ISBN 966-7804-96-8 Викладені основні...»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ Сумський державний університет Шосткинський інститут ТЕЗИ ДОПОВІДЕЙ ІХ відкритого студентського науково-практичного семінару кафедри ФЗНД Присвяченого 145-й річниці від дня народження Марії Склодовської-Кюрі (1867 – 1934) 14 березня 2012 року Шостка 2012 НАУКОВО-ІНФОРМАЦІЙНЕ Розглянуто та схвалено на засіданні ВИДАННЯ кафедри фундаментальних і загальнонаукових дисциплін протокол №7 від 1 березня 2012 р. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ КОМІТЕТ СЕМІНАРУ...»

«Ковальов Сергій аспірант Кіровоградського державного педагогічного університету імені В. Винниченка Величко Степан доктор педагогічних наук, професор Кіровоградського державного педагогічного університету імені В. Винниченка ВИКОРИСТАННЯ НАВЧАЛЬНОГО КОМПЛЕКТУ «СПЕКТРОМЕТР 01» В ЛАБОРАТОРНОМУ ПРАКТИКУМІ З ОПТИКИ У ВИЩИХ НАВЧАЛЬНИХ ЗАКЛАДАХ У статті розглянуто особливості роботи з програмним забезпеченням «Спектрометр 01.ехе», що використовується в навчальному процесі з фізики у ВНЗ. На прикладі...»

«Київський національний університет імені Тараса Шевченка Дерев’янченко О.В. ПАРКС-JAVA система для паралельних обчислень на комп’ютерних мережах Навчальний посібник Київ УДК 681.3 Дерев’янченко О.В. ПАРКС-JAVA система для паралельних обчислень на комп’ютерних мережах: Навчальний посібник для студентів факультету кібернетики. – Київ. – 2011. – 60с.Рецензент: Завадський І.О., кандидат фізико-математичних наук, доцент факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса...»

«ЧЕРНІГІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені Т.Г. ШЕВЧЕНКА ВІСНИК Чернігівського державного педагогічного університету Випуск Серія: ПЕДАГОГІЧНІ НАУКИ Чернігів ВІСНИК №6 ВІСНИК Чернігівського державного педагогічного університету імені Т.Г.Шевченка Головна редакційна колегія Головний редактор доктор педагогічних наук, професор Носко М.О. Вiдповiдальний редактор доктор iсторичних наук, професор Дятлов В.О. Редакцiйна колегiя серiї Педагогiчнi науки: Бобир С.Л., Боровик А.Г., Гетта...»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ І.І. МЕЧНИКОВА ЗРАЗКИ ОФОРМЛЕННЯ КУРСОВИХ, КВАЛІФІКАЦІЙНИХ, ДИПЛОМНИХ ТА МАГІСТЕРСЬКИХ РОБІТ Методичні вказівки для студентів фізичного факультету О д е с а – Рекомендовано до друку Вченою радою фізичного факультету Одеського національного університету імені І. І. Мечникова. Протокол № 8 від 06.05.2010 р. Укладач: Олєйнік В. П., доцент, канд. фіз.-мат. наук У методичних вказівках наведені зразки оформлення усіх...»




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы


 
2013 www.uk.x-pdf.ru - «Безкоштовна електронна бібліотека»