WWW.UK.X-PDF.RU

БЕЗКОШТОВНА ЕЛЕКТРОННА БІБЛІОТЕКА - Книги, видання, автореферати

 
<< HOME
CONTACTS




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы

Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы
Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 10 |

«МОДЕЛІ ЕКОНОМІЧНОЇ ДИНАМІКИ Конспект лекцій Для студентів галузі знань 0305 – “Економіка та підприємництво” за напрямом підготовки 6.030502 – “Економічна кібернетика” денної форми ...»

-- [ Страница 6 ] --

Отже, термін структурної нестійкості характеризує те, що при малій зміні структури функції її поведінка в околі особливої точки суттєво і різко змінюється.

14.2 Поняття біфуркації. Задачі теорії біфуркацій

Дослідження якісних математичних моделей супроводжується виникненням якісних питань, що можна розділити на дві категорії:

1) питання, що належать до поведінки системи при фіксованих значеннях параметрів; важливим до того ж є якісне розуміння характеру режимів, що встановлюються в системі;

2) питання, що стосуються подій, які відбуваються в системі при зміні значень параметрів. Повільна зміна параметра може призвести до того, що при перетині деякого критичного значення режим, що встановився в системі, набуває якісних змін. При таких перебудовах фазовий портрет системи, що вивчається, змінюється. Якісні перебудови фазового портрета називаються біфуркаціями.

Отже, питання другого типу передбачають визначення біфуркаційних значень параметрів та опис явищ, що відбуваються при переході через критичні значення.

Розв’язанням питань цього типу займається теорія біфуркації, задачами якої є:

1) опис всіх можливих біфуркації досліджуваної системи;

2) розбиття множини біфуркаційних значень параметрів на області з різними типами грубих фазових портретів;

3) побудова для кожної області відповідного фазового портрета.

Розглянемо виникнення і сутність біфуркації.

Нехай маємо динамічну систему, що задана рівнянням:

х f ( x ) r x 2.

Рисунок 14.2 – Поведінка досліджуваної системи у випадку r 0 Перша точка х1 r стійка, оскільки з рис. 14.2 видно, що функція змінює свій знак з “+” на “–”.

Друга точка х2 r – нестійка, оскільки з рис. 14.2 видно, що функція змінює свій знак з “–” на “+”.

2. При r 0 рівняння (14.1) має один корінь х 0. У цій точці f (0) 0, отже, ми не можемо аналітично визначити тип стійкості. Фазовий графік для цього випадку подано на рис. 14.3.

–  –  –

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ” 74 З аналізу графіка рис. 14.3 можна встановити, що функція f ( x ) при переході через особливу точну не змінює знак, тобто ця точка є нестійкою.

3. При r 0 точок рівноваги немає (рис. 14.4).

Напівстійка точка рівноваги зникає, як тільки r стає додатним.

Оскільки характеристики точок рівноваги змінюються з часом, то кажуть, що динамічна система має біфуркацію. У цьому випадку значення параметра r змінюються від від’ємних через нуль до додатних і характеристики стаціонарних точок змінюються так, як показано на рис. 14.2–14.4. Отже, у точці r 0 відбувається біфуркація.

Точка біфуркації – це такий стан системи, за якого навіть незначне збурення може призвести до глобальних змін. Лицар на роздоріжжі – це точка біфуркації, космічний апарат, що летить між Землею та Місяцем і який не має необхідної швидкості, щоб вийти з гравітаційного поля однієї чи іншої планети – точка біфуркації. Стане він супутником Землі або Місяця, залежить від мікроскопічних збурень типу сонячного вітру або мікрометеорита. На фондовому і валютному ринках рівні підтримки або опору є точками біфуркації. Цінні папери чи валюта, досягнувши їх, або зірвуться униз, або підуть угору, і це залежить від дуже незначних факторів. Серпень 1991 р. – точка біфуркації для СРСР.

Точки біфуркації часто зустрічаються в потоках газів і рідини.

Тому так важко передбачити погодні умови.

Термін “біфуркація” буквально означає “роздвоєння”, але застосовується в більш широкому сенсі для позначення всіх можливих якісних перебудов деякого об’єкта при зміні параметра, від якого він залежить.

Для функції y3, розглянутої в п. 14.1, значення параметра 0 відповідає точці біфуркації, бо при переході від від’ємних значень до додатних стаціонарний стан x 0 став нестійким і доповнився паДля функції y2 x 3 при від’ємних рою стійких станів – x1, 2 значеннях стаціонарні стани взагалі відсутні, а в точці 0 відбуваться народження таких станів, один з яких стійкий, а інший – нестійкий. В обох випадках значення 0 відповідають точкам біфуркації, хоча й різних типів.

Проблемою дослідження точок біфуркації є їх класифікація й аналіз поведінки сімейств функцій поблизу структурно нестійких особливих точок.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

14.3 Види біфуркацій У загальному випадку дослідження всього фазового простору на точки біфуркації є складною задачею для n-вимірного простору, тому проводяться локальні дослідження, а отримані точки біфуркації називаються локальними точками біфуркації.

За локальними точками біфуркації можна прослідкувати, спостерігаючи розвиток малих збурень у системі.

Найпростішими і найбільш важливими з них є біфуркації станів рівноваги і періодичних рухів.

14.3.1 Біфуркація положень рівноваги

До основних біфуркацій станів рівноваги належать:

1) злиття і наступне зникнення двох станів рівноваги. Прикладом може бути рух кульки в потенційній “ямі” з “поличкою” (рис. 14.5). При згладжуванні “полички” BD стан рівноваги “сідло” S і центр С2 зливаються та зникають (рис. 14.6):

–  –  –

2) народження граничного циклу зі стану рівноваги. Приклад такої біфуркації – табл. 14.1, рядок 4 (біфуркація Хопфа).

Розглянемо динамічну систему:

–  –  –

і називається системою Хопфа.

Система (14.2) залежить від двох параметрів, один з яких буде для нас ключовим, а інший c const.

Розв’язання задачі Коші при деяких заданих початкових значення r (t 0) r0, (t 0) 0 при 0 дає нам фазовий портрет і графік динаміки, що зображені на рис. 14.7.

–  –  –

У цьому випадку існує єдина особлива точка – стійкий фокус.

Побудуємо тепер графік динаміки і фазовий портрет для випадку 0 ( 4) (рис. 14.8).

Різними кривими зображено розв’язки при різних початкових умовах. Як бачимо, після короткого перехідного процесу система входить у коливальний режим, до того ж амплітуда і частота коливань не залежать від початкових умов (за будь-яких початкових умов система прийде в той самий коливальний стан).

На фазовому портреті рішення для різних початкових умов ніби “намотуються” на замкнену криву. Ця крива, до якої при t прагнуть рішення задачі Коші, є атрактором і називається граничним циклом.

Коливальний процес, що описує цей граничний цикл, називається автоколиваннями.

Розв’язки у вигляді автоколивань можливі тільки в суттєво нелінійних динамічних системах.

Динамічна система Хопфа (14.2) має нелінійність у вигляді куба параметра r, до того ж додаткова нелінійність накладається завдяки визначенню функцій x(t) i y(t) як виразів тригонометричних функцій (див. формулу 14.3).

Можна довести, що для цієї динамічної системи амплітуда коливань дорівнює.

Отже, 0 – біфуркаційне значення параметра. У цій точці вузол втрачає стійкість і замість нього народжується стійкий граничний цикл.

Ця біфуркація народження граничного циклу з нерухомої точки називається біфуркацією Хопфа, а народження автоколивань – м’яким (при малих змінах параметра коливання мають малу амплітуду, яка збільшується з його зростанням). Жорстке народження автоколивань – при малих змінах параметра відбувається “викид” траєкторії в область притяжіння іншого атрактора;

1) народження з одного рівноважного стану трьох станів рівноваги – спонтанне порушення симетрії. Наприклад, при русі кульки в жолобі за умови появи в ньому бугорка з’являється біфуркація, за якої з виродженого стану типу “центр” виникають три стани рівноваги – сідло S і центри С1 і С2 (рис. 14.9).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Рисунок 14.9 – Народження з одного стану рівноваги трьох станів при малій зміні параметра (форми жолоба):

а) форма жолоба з одним мінімумом і відповідній фазовий портрет з одним станом рівноваги типу “центр”;

б) форма жолоба з двома мінімумами і відповідній фазовий портрет з трьома станами рівноваги: “сідло” S і “центри” С1 і С2 14.3.2 Біфуркації народження (загибелі) періодичного руху Всім біфуркаціям народження або загибелі станів рівноваги відповідає проходження одного або декількох коренів через нуль. Така можливість проілюстрована на рис. 14.10, де зображено загибель двох станів рівноваги типу “сідла” і “вузла”. Аналогічна біфуркація зустрічається в задачах про конкуренцію видів Х1 і Х2, що харчуються з одного джерела. Відповідна динамічна система, що описує кількість популяцій, задається рівняннями:


Купить саженцы и черенки винограда

Более 140 сортов столового винограда.


x1 1 ( x2 1 x1 ), x2 1 ( x1 2 x2 ).

При 1, 2 1 в системі можлива “перемога” одного з видів. При зменшенні будь-якого з параметрів 1, 2 до значення, меншого за 1, при будьяких початкових умовах буде виживатися лише один вид (рис. 14.10б).

–  –  –

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ” У таблиці 14.1 узагальнено основні біфуркації народження (якщо фазові портрети продивлятися зліва направо) або загибелі (якщо справа наліво) періодичних рухів. Вони поділені на три групи:

1) перші два рядки – такі біфуркації, при яких період періодичного руху Т (або частота 0) при * 0, а амплітуда коливань поблизу середнього значення до нуля не прямує.

Граничний цикл народжується з петлі сепаратриси “сідловузол” при злитті та зникненні двох станів рівноваги – вузла і сідла (табл. 14.1, рядок 1). Модуляція, яка при цьому виникає, характеризується скінченою амплітудою і близькою до нуля частотою модуляції;

2) біфуркації зникнення стійкого періодичного руху в момент його злиття з нестійким періодичним рухом (табл. 14.1, рядок 3);

3) біфуркації, що залежать від двох і більше параметрів (табл. 14.1, рядок 5).

14.3.3 Біфуркації зміни стійкості періодичних рухів Вагома характеристика біфуркації стійкості – значення мультиплікаторів у критичний момент, які є коефіцієнтами підсилення (затухання) малих збуджень на фоні періодичного руху за період Т.

Математично мультиплікатори – це власні значення матриці e RT, що характеризують розв’язок Z (t ) C (t )e RT лінеаризованої системи в околі досліджуваного періодичного руху x f (t, ), f (t T, ) f (t, ). Тут R – постійна, а C (t ) – періодична матриця, C (t T ) C ( t ). В автономній системі один з мультиплікаторів завжди дорівнює одиниці, тому в подальшому ведемо мову про інші. Якщо всі мультиплікатори за модулем менші одиниці, то початковий періодичний рух стійкий. Біфуркації, пов’язані зі зникненням стійкості, відбуваються при значеннях параметрів системи, при яких один або кілька з них дорівнюють за модулем 1.

У таблиці 14.2 схарактеризовано основні зміни стійкості періодичних рухів.

<

–  –  –

15.1 Основні поняття теорії хаосу Точного математичного визначення поняття хаос поки не існує.

Найчастіше хаос визначають як крайню непередбачуваність постійного нелінійного і нерегулярного складного руху, що виникає в динамічній системі.

Слід зазначити, що хаос не випадковий, незважаючи на властивість непередбачуваності. Більш того, хаос динамічно детермінований (визначений). Згідно з теорією хаосу, якщо говорити про хаотичний рух, то мають на увазі не випадковий рух, а інший, особливо впорядкований рух. У будь-якій динамічній системі за порядком у звичайному його розумінні з неминучістю слідує хаос, а за хаосом порядок. Рух від порядку до хаосу і назад, як видно, є сутністю Всесвіту.

Приклади хаотичної поведінки:

1) рух більярдної кулі. Від початкової точності удару, його сили, положення кия щодо кулі, оцінка місця розташування кулі, по якій вдаряють, а також розташування інших куль, що знаходяться на столі, залежить кінцевий результат. Найменша неточність в одному з цих факторів приводить до самих непередбачених наслідків – куля може покотитися зовсім не туди, куди очікував більярдист. Більш того, навіть якщо більярдист усе зробив правильно, спробуйте спрогнозувати рух кулі після п’яти-шести зіткнень;

2) камінь, що зіштовхнули з гори. Зрозуміло, що зовсім мала зміна сили поштовху і його напрямку може привести до дуже значної зміни місця зупинки каменю в підніжжі;

3) дим від цигарок спочатку піднімається у вигляді упорядкованого стовпа і під впливом зовнішнього середовища приймає усе більш вигадливі обриси, а його рухи стають хаотичними;

4) листочки будь-якого дерева; можна стверджувати, що існує багато схожих листків, наприклад дуба, однак жодної пари однакових листів; ця різниця визначена температурою, вітром, Для написання лекції використано джерела [6–9].

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ” вологістю і багатьма іншими зовнішніми факторами, крім чисто внутрішніх причин (наприклад, генетичною різницею);

5) ліва та праві півкулі людського мозку; перша відповідає за свідому поведінку людини, за вироблення лінійних правил і стратегій у поведінці людини, де чітко визначається “якщо..., то...”; у правій же півкулі панує нелінійність і хаотичність, інтуїція є одним з проявів правої півкулі мозку.

Непередбачуваність хаосу пояснюється:

1) істотною залежністю від початкових умов;

2) неможливістю врахувати всі фактори, що подіють на систему впродовж періоду прогнозування.

Навіть найменші помилки при вимірі параметрів досліджуваного об’єкта можуть призвести до абсолютно неправильних прогнозів. Ці помилки можуть виникати внаслідок елементарного незнання всіх початкових умов. Дещо обов’язково вислизне з нашої уваги. Отже, вже в самій постановці задачі буде закладена внутрішня помилка, що приведе до істотних погрішностей у прогнозуванні. Стосовно неможливості робити довгострокові прогнози погоди істотну залежність від початкових умов іноді називають “ефектом метелика”. “Ефект метелика” вказує на існування ймовірності того, що змах крила метелика в Бразилії приведе до появи торнадо в Техасі.

Теорія хаосу вивчає порядок хаотичної системи, яка виглядає випадковою. До того ж теорія хаосу допомагає побудувати модель такої системи, не висуваючи задачу точного прогнозування поведінки хаотичної системи в майбутньому.

Основні положення теорії хаосу:

1) майбутнє передбачити неможливо, тому що завжди будуть помилки виміру, породжені, зокрема, і незнанням усіх факторів і умов;



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 10 |
Похожие работы:

«УКРАЇНА Коростенська міська рада Житомирської області ВИКОНАВЧИЙ КОМІТЕТ РІШЕННЯ від 25.01.2014р. № 27 Про схвалення проекту рішення міської ради «Про міський бюджет на 2014 рік» та Прогнозу міського бюджету на 2015 і 2016 роки Відповідно до статті 21 та пункту 1 статті 76 Бюджетного кодексу України, керуючись п.1, ч.а ст.28 Закону України “Про місцеве самоврядування в Україні”, виконавчий комітет міської ради РІШАЄ: 1.Схвалити проект рішення міської ради «Про міський бюджет на 2014 рік» та...»

«Доповідь на річній сесії Наукової Ради НАН України з аналітичної хімії Гурзуф Травень 201 Зайцев В.М. (голова Ради) Загальна інформація 35 членів Ради + 7 зак. членів • 2 чл. Кор. НАНУ • 26 докторів наук Науковці, що були введені до складу Ради у 2011 р. Інститут колоїдної хімії та хімії води ім. А.В. Кущевская Ніна Федорівна д.т.н. ст.н.с. Думанського НАН України, м. Київ Володимир Національний науковий центр Харьківський Левенць Вікторович к.ф-м.н. С.н.с. фізико-технічний інститут, м. Харків...»

«Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка Тестові завдання з фізики. Задачі і запитання для абітурієнтів фізикоматематичного факультету Кіровоград – 2003 ББК 22.3 р Т – 36 УДК 53 (07) Т – 36 Тестові завдання з фізики. Задачі і запитання для абітурієнтів фізико-математичного факультету /За ред. С.П.Величка, Н.В. Подопригори. – 3-е вид., доп. – Кіровоград: РВЦ КДПУ ім. В.Винниченка, 2003.– 144с. Автори: Величко С.П., Вовкотруб В.П., Кононенко С.О., Подопригора...»

«Міністерство освіти і науки України Національний університет харчових технологій 80 МІЖНАРОДНА НАУКОВА КОНФЕРЕНЦІЯ МОЛОДИХ УЧЕНИХ, АСПІРАНТІВ І СТУДЕНТІВ “Наукові здобутки молоді – вирішенню проблем харчування людства у XXI столітті” Частина 10–11 квітня 2014 р. Київ НУХТ Програма і матеріали 80 міжнародної наукової конференції молодих учених, аспірантів і студентів “Наукові здобутки молоді – вирішенню проблем харчування людства у ХХІ столітті”, 10–11 квітня 2014 р. – К.: НУХТ, 2014 р. – Ч.4....»

«ВПЛИВ СПІРОКАРБОНУ ТА ПОХІДНИХ ПІРОЛОПІРИМІДИНДІОНІВ. УДК 612.111: 612.393 ВПЛИВ СПІРОКАРБОНУ ТА ПОХІДНИХ ПІРОЛОПІРИМІДИНДІОНІВ НА ФІЗИКО-ХІМІЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛІГАНДНИХ ФОРМ ГЕМОГЛОБІНУ IN VITRO К. П. Дудок1, А. М. Федорович1, Т. Г. Дудок2, О. Н. Речицький3 В. А. Єресько3, А. В. Шкаволяк4, Н. О. Сибірна1 Львівський національний університет імені Івана Франка вул. Грушевського, 4, Львів 79005, Україна Інститут фізичної оптики МОН України, вул. Драгоманова, 23, Львів 79005, Україна Херсонський...»

«Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Інститут прикладної фізики Національної академії наук України Сумський державний педагогічний університет імені А.С. Макаренка Фізико-математичний факультет СУЧАСНІ ПРОБЛЕМИ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЇ ТА ТЕОРЕТИЧНОЇ ФІЗИКИ МАТЕРІАЛИ І Міжрегіональної науково-практичної конференції молодих учених 19-20 квітня 2012 року м. Суми УДК 53:004(08) ББК 22я43 М 34 Рекомендовано до друку вченою радою фізико-математичного факультету Сумського державного...»

«1. ПІБ Шаабан 2. Назва Каскадно-стохастичний метод нейтринної діагностики внутрішньореакторних процесів і паливовмістних мас 3. Спеціальність 01.04.16. – фізика ядра, елементарних частинок і високих енергій 4. Місце роботи Одеський національний політехнічний університет 5. Де виконана дисертація Одеському національному політехнічному університеті 6. Науковий керівник Русов Віталій Данилович, д.ф-м.н., професор 7. Опоненти Висоцький Володимир Іванович, д.ф-м.н., професор Павлович Володимир...»

«НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧНОЇ ФІЗИКИ ім. М. М. БОГОЛЮБОВА Шека Денис Дмитрович УДК 537.611 Динаміка двовимірних магнітних солітонів 01.04.02 — теоретична фізика Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико–математичних наук Київ — 2008 Дисертацією є рукопис Робота виконана на кафедрі математики та теоретичної радіофізики Київського національного університету імені Тараса Шевченка доктор фізико–математичних наук, професор Науковий консультант:...»

«Ваш домашній репетитор О.М. Александра ТесТи ДоДаТок До посібника * 16 тематичних тестів у двох варіантах * Випускний (пробний) тест у двох зошитах * Чотирирічна апробація та вдосконалення * Специфікація ЗНО-2013 ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА – БОГДАН ББК 22.1я72 А4 Серію «Ваш домашній репетитор» засновано 2012 року Александра О.М. А46 Тести. Додаток до посібника «Повний курс підготовки до ЗНО з математики». — Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2012. — 168 с. ISBN 978-966-10-3104-2 Видання є...»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ” МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання розділу “Охорона праці та навколишнього середовища” у випускних роботах бакалаврів для студентів фізико-технічного факультету очної та заочної форм навчання Харків НТУ “ХПІ” 2011 Методичні вказівки до виконання розділу “Охорона праці та навколишнього середовища” у випускних роботах бакалаврів для студентів фізико технічного факультету очної та заочної форм...»




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы


 
2013 www.uk.x-pdf.ru - «Безкоштовна електронна бібліотека»