WWW.UK.X-PDF.RU

БЕЗКОШТОВНА ЕЛЕКТРОННА БІБЛІОТЕКА - Книги, видання, автореферати

 
<< HOME
CONTACTS




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы

Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы
Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 10 |

«МОДЕЛІ ЕКОНОМІЧНОЇ ДИНАМІКИ Конспект лекцій Для студентів галузі знань 0305 – “Економіка та підприємництво” за напрямом підготовки 6.030502 – “Економічна кібернетика” денної форми ...»

-- [ Страница 5 ] --

1) вона не надає інформації про випадки, коли лінеаризація не проста або є центром;

2) теорема надає інформацію про поведінку рішень тільки поблизу точки рівноваги. Для того, щоб зробити глобальний прогноз, нам необхідна додаткова інформація.

–  –  –

Для написання лекції використано джерело [9].

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ” Якщо, крім того, власні значення гесіана

–  –  –

обидва додатні, то особлива (стаціонарна) точка функції E ( x, y ) є локальним мінімумом;

обидва від’ємні, то особлива (стаціонарна) точка функції E ( x, y ) є локальним максимумом;

такі, що одне значення додатне, а друге від’ємне, то особлива (стаціонарна) точка є локальним сідлом.

Якщо особлива (стаціонарна) точка функції E ( x, y ) є локальним мінімумом чи максимумом, то криві рівня E ( x, y ) замкнені в околі точки рівноваги. Отже, розв’язки нелінійної системи також утворюють замкнені криві навколо точки рівноваги, і точка рівноваги є нелінійним центром і нейтрально стійка. Це один з методів визначення існування нелінійного центру.

Якщо точка рівноваги є локальним сідлом для E ( x, y ), то точка рівноваги для нелінійної системи нестійка і є нелінійним сідлом.

10.2 Оборотні системи Часто динамічні системи мають оборотну в часі симетрію в тому випадку, коли їх поведінка не залежить від напряму часу. Так, наприклад, нитка, на якій підвішений маятник, є однаковою незалежно від того, коливається маятник вперед чи назад.

Планарна (плоска) динамічна система (10.1) називається оборотною, якщо її рівняння інваріантні при заміні змінних t t, x x і y y (або t t, x x і y y ).

Властивість оборотної системи: якщо x(t ), y (t ) є розв’язком системи, то розв’язком є і x ( t ), y ( t ). Це означає, що будь-яка тракторія системи, що знаходиться над віссю х (або зліва від осі y) повинна мати двійника, який отримують відображенням стосовно осі х (або осі y) і який відрізняється за напрямком часу. Тобто, фазовий портрет системи симетричний стосовно осі х (або осі y). Що це нам дає в розумінні довгострокової поведінки нелінійної системи?

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Розглянемо траєкторію, що починається на осі х справа від точки рівноваги. Ця траєкторія знаходиться навколо точки рівноваги і, врешті-решт, перетне вісь зліва від точки рівноваги. За властивістю оборотної системи, має існувати відповідна траєкторія, що отримана за допомогою відображення стосовно осі х з тією ж кінцевою точкою, тільки оборотна в часі. Разом ці дві траєкторії утворюють замкнену орбіту. Отже, точка рівноваги є центром. Аналогічні міркування справедливі також стосовно осі у.

Теорема: якщо оборотна система має точку рівноваги, яку має лінеаризація з центром, нелінійна система повинна мати нелінійний центр.

Отже, визначення оборотності системи може бути корисним при доведенні існування нелінійного центру.

10.3 Граничний цикл Розв’язок системи (10.1) при t не завжди задається станом рівноваги. Так, наприклад, за умови отримання уявних коренів відповідного характеристичного рівняння поведінка системи характеризується як незатухаючі коливання з постійною амплітудою, тобто розв’язком є функції x ( t T ) x ( t ), y ( t T ) y ( t ). У цьому випадку говорять, що в системі існує стійкий граничний цикл. Типова картина поведінки розв’язків в околі граничного циклу подана на рис. 10.1–10.3.

Фазові траєкторії зсередини і ззовні “намотуються” на цикл. Незалежно від початкових даних у системі будуть відбуватися коливання з постійними амплітудою і частотою – так звані автоколивання.

Типи граничних циклів:

стійкі – близькі траєкторії “навиваються” на цикл при t (рис. 10.1);

напівстійкі – траєкторії, що знаходяться по один бік від циклу – “навиваються” на нього при t, а ті, що знаходяться по інший бік – “відходять” від циклу (рис. 10.2);

нестійкі – близькі траєкторії “відходять” від циклу при t (рис. 10.3).

На жаль, узагальнених ефективних методів визначення стійкості граничних циклів не існує. Один з них ґрунтується на використанні функції наслідування.

Ідея побудови функції наслідування полягає в нижченаведеному.

Проводиться промінь, що явно перетинає граничний цикл і близькі траєкторії. Наприклад, проведемо промінь ОА, що виходить з особливої точки О, яка лежить усередині граничного циклу (рис. 10.4).

Рисунок 10.4 – Побудова функції наслідування Ідея побудови функції наслідування виявилася дуже плідною для дослідження нелінійних систем, особливо вищого порядку (розмірність фазового простору N 2). Узагальнення описаного підходу має назву методу перетинів Пуанкаре. До того ж, переходячи до систем з

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

більшою кількістю вимірювань, замість променю ОА потрібно розглядати деяку гіперплощину. Наприклад, у тривимірному випадку розглядають точки Р0, Р1, Р2,..., Рn як перетини траєкторії з площиною S (рис. 10.5). Перетворення Рn + 1 = Т(Pn), що переводить точку в наступну, називається відображенням Пуанкаре.

Рисунок 10.5 – Схематичне зображення перетину Пуанкаре Метод перетинів Пуанкаре спрощує дослідження безперервних динамічних систем принаймні з трьох причин:

кількість фазових змінних зменшується на одиницю;

диференціальні рівняння замінюються різницевими рівняннями виду xi (k + 1) = f(xi (k)), i= 1, 2,..., N, які значно легше піддаються дослідженню;

різко скорочується кількість даних, що підлягають обробці, бо майже всіма точками на траєкторії можна знехтувати.

Крім того, багато систем диференціальних рівнянь породжують схожі відображення. Тому зараз часто одновимірні та двовимірні відображення розглядаються як спрощені моделі різних процесів.

11.1 Поняття різницевого рівняння

При моделюванні економічних явищ часто використовується рівняння виду:

xi = F(xi 1, xi 2,..., xi n) (11.1) де величина xt в будь-який момент часу ti it, i = n + 1, n + 2,...

залежить від її значень у попередні n моментів часу ti 1, ti 2,..., ti n.

Таке рівняння називається різницевим або рекурентним рівнянням n-го порядку.

Розв’язком різницевого рівняння називається послідовність xk (k = = 0, 1, 2,...), яка перетворює його в тотожність. Розв’язок (11.1) можна знайти, якщо задати n так званих початкових умов, наприклад, x0, x1,..., xn 1. Підставляючи початкові умови в праву частину рівняння (11.1), знаходимо xn, потім, використовуючи значення x1,..., xn 1, xn, знаходимо xn + 1, xn + 2 тощо.

Рівняння:

xt = a1xt 1 + a2 xt 2 +...+ an xt n + a0 (t) (11.2) де a1, a2,..., an – сталі коефіцієнти, називається лінійним різницевим рівнянням n-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Воно називаться однорідним, якщо a0 (t) 0 і неоднорідним у протилежному випадку.

У теорії різницевих рівнянь доводиться, що загальний розв’язок рівняння (11.2) дорівнює сумі загального розв’язку відповідного однорідного рівняння:

xt = a1xt 1 + a2 xt 2 +... + an xt n (11.3) і будь якого частинного розв’язку неоднорідного рівняння (11.2)

–  –  –

11.4 Системи лінійних різницевих рівнянь другого порядку Система лінійних різницевих рівнянь другого порядку зі сталими коефіцієнтами має вигляд:

–  –  –

Вона називається однорідною, якщо b1 = b2 = 0, і неоднорідною в іншому випадку.

Будемо розглядати випадок det A a11a22 a12 a21 0. Заміною невідомих xt = ut + x*, yt = vt + y*, де x*, y* – розв’язки системи лінійних

12.1 Динамічна модель Кейнса Розглянемо простий приклад дискретної динамічної економічної моделі – модель Кейнса. Згідно з постулатом Кейнса, “підприємці виробляють не стільки, скільки бажають, а стільки, скільки можуть продати”. Якщо прийняти, що попит наступного року формується в поточному році, то підприємці спланують виробництво в наступному році відповідно до прогнозованого попиту.

У цій моделі припускається, що за час змінюється лише валовий внутрішній продукт, який будемо позначати через Y, а його приріст Y = Yt + Yt. У моделі закритої економіки цей приріст визначається як Y = I S, де I = It – приріст внутрішніх інвестицій, S = [Yt

– C(Yt)] – приріст фонду накопичення, C = C(Yt) – приріст фонду споживання, тобто вважається, що для будь якого t і заданого Yt + Yt = = {C[Yt ] Yt + It}.


Купить саженцы и черенки винограда

Более 140 сортов столового винограда.


У випадку = 1 рік матимемо таке різницеве рівняння першого порядку:

Yt + 1 = C[Yt] + It. (12.1) Якщо припустити, що C є лінійною функцією від Y, то отримаємо

C[Yt] = Cmin + cYt, де Cmin – нижня межа споживання, 0 c 1 – гранична схильність до споживання, а також, враховуючи, що It = A(t), отримамо лінійне динамічне рівняння Кейнса:

Yt + 1 = Cmin + cYt + A(t). (12.2) Якщо припустити, що It = A0 = const, і задати початкове значення Y0, то загальний розв’язок (12.2) має вигляд Yt c t (Y0 Y ) Y, де C A0 Y min.

1 c

З отриманої формули можна зробити такі якісні висновки:

1. Оскільки 0 c 1, то при t ct 0, lim Yt Y, тобто Yt моноt тонно виходить на стаціонарний рівень Y.

Для написання лекції використано джерело [1].

12.2 Дискретна модель зростання Харрода – Домара Вище припускалося, що інвестиції не залежать від національного доходу, однак був встановлений позитивний обернений зв’язок між інвестиціями та національним доходом (принцип акселерації). Розглянемо його на прикладі моделі економічного зростання Харрода – Домара. У цій моделі припускається, що крім незалежних інвестицій A(t) присутні так звані індуковані інвестиції Iind, які змінюються пропорційно приросту валового національного продукту:

–  –  –

13.1 Дослідження стійкості нелінійних дискретних моделей

Розглянемо різницеве рівняння першого порядку виду:

xn + 1 = f(xn) (13.1) де f (x) має необхідну кількість похідних. Його часто називають відображенням, а послідовність x0, x1, x2, … – траєкторією. Очевидно, що різним початковим значенням x0 відповідають різні розв’язки.

Стійкість розв’язку можна визначити так: для досить малих відхилень від початкового значення x0 новий розв’язок мало відрізняється від попереднього. Або, якщо для будь якого довільного 0 знайдеться () 0 таке, що як тільки x0 x0, то для всіх точок траєкторії xn, n = 1, 2,... виконується нерівність xn xn.

Нехай x* 0 задовольняє рівняння f (x*) = x*. Тоді x* називають стаціонарною (нерухомою) точкою, адже якщо xn = x*, то xn + 1 = f (xn ) = = f (x*) = x*, xn + 2 = f (xn + 1) = f (x*) = x* і т.д.

Існування рівноваги легко з’ясовується графічно з так званої діаграми Ламерея (сobwebs). Для цього будуємо криву L: y = f (х) і пряму y = x. Відкладемо початкове значення x0 на осі абсцис, проведемо вертикальну пряму до перетину з кривою L, потім з цієї точки проводимо горизонтальну пряму до перетину з прямою y = x (рис. 13.1). Тепер знову проведемо вертикальну пряму до перетину з кривою L. Це дасть нам точку з абсцисою x1. Легко перевірити, що x1 = f (x0). Взявши цю точку знову за початкову і повторивши ті ж самі дії, отримаємо x2, потім x3 і т.д.

Щоб дослідити поведінку траєкторії в околі нерухомої точки аналітично, покладемо xn = x* + n, n x* і спробуємо визначити, відхилення n буде зростати чи спадати при зростанні n.

Лінеаризуючи (13.1), за теоремою Тейлора матимемо:

–  –  –

Рисунок 13.1 – Дослідження точки рівноваги за допомогою діаграми Ламерея Оскільки f (x*) = x*, то ми отримаємо лінійне різницеве рівняння n + 1 = f (x*) n. Його розв’язок має вигляд n = n0, де = f (x*).

Зрозуміло, що якщо f ( x * ) 1, то n 0 при n і стаціонарна точка x* є стійкою в лінійному наближенні. Навпаки, якщо f (x*) 1, то стаціонарна точка x* є нестійкою. Хоча ми отримали умови стійкості в лінійному наближенні, можна довести, що вони правильні і для нелінійного відображення (13.1).

–  –  –

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ” При малих p маємо D(p) S(p) (попит перевищує пропозицію), при великих навпаки, D(p) S(p). Оскільки D(p) і S(p) неперервні функції, приходимо до висновку, що існує така ціна p*, для якої D(p*) = = S(p*), тобто попит дорівнює пропозиції. Ціна p* називається рівноважною, попит і пропозиція при цій ціні також називаються рівноважними.

–  –  –

Рисунок 13.2 – Якісні залежності попиту D і пропозиції S Розглянемо просту модель пошуку рівноважної ціни – так звану павутинну модель. Вона дозволяє дати якісне пояснення явищу циклів зміни обсягів продажу і цін. Нехай pt – ціна товару в момент часу t.

Виробник визначає пропозицію товару на цей момент на основі ціни в попередній момент часу (t – 1), тобто St (pt 1) (пропозиція поступає на ринок із запізненням на один часовий лаг). Крива попиту характеризує попит на товар у момент часу t, Dt (pt). З умови балансу попиту і пропозиції в загальному випадку матимемо неявне різницеве рівняння стосовно ціни pt Dt (pt) = St (pt1) = Xt де Xt – обсяг купівлі-продажу. Якщо відома початкова ціна p0, за допомогою отриманого рівняння ми можемо знайти S1, далі отримати величини p1 та X1, потім p2 та X2 і т.д.

Розв’язок можна також проаналізувати графічно (рис. 13.3).

Нехай p0 – ціна в початковий момент часу. Відповідна точка Q0 на кривій S дає обсяг пропозиції в момент часу t = 0. Весь цей запропонований товар купується за ціною p1, яка визначається точкою Q1 на кривій D з тією ж самою ординатою X1, що й Q0. Під час другого періоду

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

часу рух проходить спочатку по вертикалі від точки Q1 на кривій S, яка визначає обсяг купівлі-продажу X2, а потім по горизонталі до точки Q2 на кривій D, яка і визначає ціну p2. Продовження цього процесу дає графік павутини, наведений на рис. 13.3а.

У цьому випадку, стартуючи з точки p1, ми по спіралі (павутині) будемо наближатися до рівноважної ціни p*. Однак можна уявити і зворотній процес – спіраль, що “розкручується“ (віддаляється від рівноважної ціни p*), як показано на рис. 13.3б.

–  –  –

Побудова математичної моделі будь-якого процесу зв’язана зі знехтуванням малими членами. У першому прикладі ( y1 ) це цілком виправдано. У другому та третьому прикладах поведінка функцій при врахуванні досить малих уточнюючих членів суттєво інша. Отже, функції y2 і y3 мають властивість, що їх об’єднує, яка називається структурною нестійкістю. Відповідна функція y1 має властивість структурної стійкості.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 10 |
Похожие работы:

«Вісник Дніпропетровського національного університету. Серія Економіка. Випуск 7. 2005С.64-76. УДК 911.3.3 Пам’яті Сергія Подолинського СТІЙКИЙ РОЗВИТОК ТА МЕТОДОЛОГІЧНА КРИЗА ПОЛІТИЧНОЇ ЕКОНОМІЇ Сонько С.П,2005 © Криворізький економічний інститут КНЕУ, Кривий Ріг,Україна Наш земляк видатний український учений Сергій Подолинський в 187 році закінчив фізико-математичний факультет Київського університету ім. Св.Володимира, а ще через 5 років завершив навчання на медичному факультеті Вроцлавського...»

«_ _ _ Рекомендовано Міністерством освіти і науки України КИЇВ «ГЕНЕЗА» _ _ _ ББК 22.3я721 К70 Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ МОН України № 56 від 02.02.2009 р.) Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено Відповідальні за підготовку до видання: Хоменко О.В. – головний спеціаліст МОН України; Юрчук І.А. – методист вищої категорії Інституту інноваційних технологій і змісту освіти. Незалежні експерти: Бар’яхтар В.Г. – доктор фіз. мат. наук, професор, академік,...»

«УДК 53(079.1) ББК 22.3я721-4 З-41 Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від 27.12.2013 № 1844) Навчальне видання ЗАСЄКІНА Тетяна Миколаївна КОВАЛЬ Володимир Сергійович СИРОТЮК Володимир Дмитрович ЧЕРНЕЦЬКИЙ Ігор Станіславович Збірник завдань для державної підсумкової атестації з фізики 9 клас Рекомендовано Міністерством освіти і науки України Відповідальний за випуск С. Горбатенко Редактор О. Мовчан Обкладинка, макет, ілюстрації С....»

«ІНСТИТУТ РЕГІОНАЛЬНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ НАН УКРАЇНИ у 2007 році Львів – 2008 Інститут регіональних досліджень НАН України у 2007 році: Інформаційне видання. – Львів, 2008. – 71 с. Видання містить інформацію про напрями та тематику досліджень, наукові публікації та основні результати діяльності Інституту регіональних досліджень Національної академії наук України у 2007 р. Для економістів, науковців, працівників органів державної влади та місцевого самоврядування, а також всіх, хто цікавиться...»

«Міністерство транспорту та зв’язку України Державна адміністрація зв’язку Одеська національна академія зв’язку ім. О.С. Попова Кафедра основ схемотехніки І. П. ПАНФІЛОВ, Ю. В. ФЛЕЙТА ЕЛЕКТРОННІ ТА КВАНТОВІ ПРИЛАДИ НВЧ Навчальний посібник Модуль Квантові прилади НВЧ Напрям підготовки: 0907 – Радіотехніка Спеціальність: апаратура радіозв’язку, радіомовлення і телебачення ЗАТВЕРДЖЕНО радою навчально-наукового інституту радіо, телебачення, електроніки. Протокол № 4 від 23.12.2009 р. ОДЕСА – УДК...»

«Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника ЕВРИКА – ХІІ ЗБІРНИК СТУДЕНТСЬКИХ НАУКОВИХ ПРАЦЬ Івано-Франківськ Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника ББК 70.516 М34 Рекомендовано до друку вченою радою Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника. Редакційна рада: Остафійчук Б.К. – голова, доктор фізико-математичних наук, професор; Васильєва В.А. – доктор юридичних наук, професор;...»

«УДК 636.22/.28:637.1(092) КАПРАЛЮК Оксана Вікторівна, кандидат сільськогосподарських наук, завідувач відділу науково-методичної роботи та наукового реферування Національної наукової сільськогосподарської бібліотеки Національної академії аграрних наук України (м. Київ) НАУКОВИЙ ВНЕСОК Ав. А. КАЛАНТАРА (1859–1937) У РОЗВИТОК СКОТАРСТВА ТА МОЛОЧНОЇ СПРАВИ Проаналізовано внесок відомого вченого з зоотехнії Ав.А. Калантара у вивчення молочної продуктивності великої рогатої худоби, фізико-хімічного...»

«Управління освіти Миколаївської міської ради Науково – методичний центр Методичний порадник Миколаїв С.М. Манзарук, методист науково-методичного Укладач: центру управління освіти Миколаївської міської ради О.А.Колінко, заступник директора науковоРецензент: методичного центру управління освіти Миколаївської міської ради Відповідальний за випуск: О.О. Удовиченко, директор науково – методичного центру Затверджено науково-методичною радою Миколаївського науково-методичного центру, протокол від...»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника Фізико-хімічний інститут Бердянський державний педагогічний університет Державний фонд фундаментальних досліджень НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова Інститут хімії поверхні Інститут металофізики імені Г.В. Курдюмова Інститут загальної і неорганічної хімії імені В.І. Вернадського АКАДЕМІЯ НАУК ВИЩОЇ ШКОЛИ УКРАЇНИ ЛЮБЛІНСЬКИЙ ТЕХНІЧНИЙ...»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені В. Н. КАРАЗІНА Савченко О. М. ФІЗИКА. ПРАКТИКУМ Методичні вказівки для студентів природничих факультетів m m1g R ХАРКІВ 2013 УДК 53 ББК 22.3 Рецензенти: кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри експериментальної фізики фізичного факультету Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна Шеховцов О. В.; кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри загальної фізики фізичного факультету...»




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы


 
2013 www.uk.x-pdf.ru - «Безкоштовна електронна бібліотека»