WWW.UK.X-PDF.RU

БЕЗКОШТОВНА ЕЛЕКТРОННА БІБЛІОТЕКА - Книги, видання, автореферати

 
<< HOME
CONTACTS




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы

Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы
Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 15 |

«Вища математика Загальний курс Частина II Математичний аналіз і диференціальні рівняння Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих ...»

-- [ Страница 1 ] --

В.П.Лавренчук, П.П.Настасієв,

О.В.Мартинюк, О.С.Кондур

Вища математика

Загальний курс

Частина II

Математичний аналіз і

диференціальні рівняння

Рекомендовано

Міністерством освіти і науки України

як навчальний посібник для студентів

вищих навчальних закладів

Чернiвцi

Книги – ХХІ

ББК 22.11я7

Л 135

УДК 51(075.8)

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів

(лист про надання грифу №1.4/18-Г-239 від 28.01.08 р.)

Рецензенти:

Євтухов В.М., доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри диференціальних рівнянь Одеського національного університету ім. І.І.Мечникова, Іванчов М.І., доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка, Ільків В.С., доктор фізико-математичних наук, професор кафедри обчислювальної математики та програмування НУ „Львівська політехніка”, Никифорчин О.Р., кандидат фізико-математичних наук, доцент, завідувач кафедри алгебри та геометрії Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника.

Лавренчук В.П., Настасієв П.П., Мартинюк О.В., Кондур О.С.

Л 135 Вища математика. Загальний курс. Частина 2.

Математичний аналіз і диференціальні рівняння:

Навчальний посібник. – Чернівці: Книги – ХХІ, 2010.

– 556 с.

ISBN 978-966-2147-73-5 Посібник написаний у відповідності з програмою курсу вищої математики для нематематичних спеціальностей вищих навчальних закладів.

Матеріал викладено строго і доступно. У кожному розділі наведено велику кількість прикладів, які ілюструють теоретичний матеріал, а також багато задач і вправ для самостійної роботи.

Друга частина посібника містить такі розділи: теорія границь, диференціальне числення функцій однієї змінної, невизначений і визначений інтеграли, диференціальне числення функцій багатьох змінних, кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли, ряди і диференціальні рівняння.

Для студентів напрямів: біологія, хімія, географія, туризм, землевпорядкування та кадастр, економічні та інженерно-економічні.

ББК 22.11я7 ISBN 978-966-2147-73-5 © Лавренчук В.П., Настасієв П.П., Мартинюк О.В., Кондур О.С., 2010 Передмова Друга частина пропонованого посiбника присвячена основним поняттям математичного аналiзу та диференцiальних рiвнянь.

Створення Ньютоном i Лейбнiцем понад три столiття тому основ диференцiального та iнтегрального числення вiдiграло важливу роль в науцi взагалi й математицi зокрема.

Математичний аналiз, аналiтична геометрiя та алгебра, переплiтаючись, утворили той фундамент, на якому базуються всi сучаснi математичнi дисциплiни та їхнє використання в науцi й технiцi. Саме завдяки цьому математичний аналiз поряд з алгеброю i геометрiєю є основою курсу вищої математики.

Математичний аналiз в цьому посiбнику охоплює теорiю границь i неперервнiсть функцiй, диференцiальне та iнтегральне числення, ряди.

Теорiя границь лежить в основi визначення класу неперервних функцiй. За допомогою границь також вводяться поняття похiдної, iнтеграла, суми ряду, тощо.

У диференцiальному численнi значна увага акцентується на поняттi похiдної функцiї та вивченнi її основних властивостей. Наводяться рiзноманiтнi застосування диференцiального числення в економiцi та природознавствi.

Iнтегральне числення мiстить виклад теорiї iнтеграла Рiмана та його узагальнення, а саме, невласних iнтегралiв. Подано застосування iнтегралiв до розв’язання задач геометрiї, економiки та природознавства.

Значна увага придiляється також iнтегральному численню функцiй багатьох змiнних та його застосуванню.

Широко висвiтлено в курсi теорiю числових, функцiональних рядiв i рядiв Фур’є.

Заключний роздiл курсу присвячений диференцiальним рiвнянням. В ньому вiдзначено важливу роль математичних моделей при описанi та вивченнi конкретних явищ i задач природознавства. Наведено рiзноманiтнi застосування диференцiальних рiвнянь у фiзицi, бiологiї, хiмiї та економiцi.

Основнi особливостi цiєї частини курсу пов’язанi з бiльшим, нiж в першiй частинi, рiвнем абстрактностi. Тому для кращого сприйняття i розумiння матерiалу автори вважали за необхiдне проводити виклад вiд простого до складного, супроводжуючи його, де це можливо, рисунками. При цьому видiляються найiстотнiшi методи i факти, а також пропонуються лише такi доведення, якi є типовими i повчальними.

Основний текст мiстить досить велику кiлькiсть розв’язаних прикладiв, кожний параграф закiнчується вправами для самостiйного розв’язання. Ми сподiваємося, що це суттєво допоможе студентам у неформальному i глибокому засвоєнi теоретичного матерiалу.

Роздiл 6 Функцiї однiєї змiнної §1. Поняття функцiї

1.1. Змiннi величини. При вивченнi закономiрностей, якi зустрiчаються у природi, доводиться мати справу як зi сталими величинами, так i зi змiнними.

Сталою називається величина, яка зберiгає одне й те саме значення або взагалi, або у данiй ситуацiї. У другому випадку сталу величину називають параметром.

Змiнною називається величина, яка може набувати рiзних числових значень.

Змiнну величину (змiнну) вважають заданою, якщо вiдома множина всiх числових значень, яких вона може набувати. Сталу величину можна розглядати як частинний випадок змiнної, коли множина її числових значень складається з одного числа.

Числовi значення змiнної величини утворюють певну множину дiйсних чисел. Їй вiдповiдає деяка множина точок числової осi. Найчастiше ми зустрiчатимемося з числовими множинами таких типiв: iнтервал (a; b); вiдрiзок [a; b]; напiвiнтервали або напiввiдрiзки [a; b), (a; b]; необмеженi iнтервали (a; +), (; b) або необмеженi вiдрiзки [a; +), (; b]; уся числова вiсь (; +). Усi вони детально описанi в роздiлi 1 першої частини.

Надалi всi указанi множини об’єднуватимемо термiном промiжок.

Будь-який iнтервал, що мiстить точку a, називається околом точки a. Iнтервал (a ; a + ), тобто множина точок x таких, що |x a|, де 0, називається -околом точки a.

1.2. Поняття функцiї. Способи задання функцiї.

При вивченi рiзних явищ та процесiв, як правило, маємо справу з сукупнiстю змiнних величин, якi зв’язанi мiж собою так, що значення одних величин, що називаються незалежними змiнними, повнiстю визначають значення iнших, якi називаються залежними змiнними або функцiями.

Змiнна величина y називається функцiєю змiнної величини x, якщо вони зв’язанi мiж собою так, що кожному розглядуваному значенню величини x (допустимi значення) вiдповiдає єдине цiлком визначене значення величини y.

При цьому x називається аргументом або незалежною змiнною, а y – залежною змiнною або функцiєю.

Сукупнiсть усiх значень незалежної змiнної x, для яких функцiя y визначена, називається областю визначення або областю iснування функцiї i позначається символом D(y) або X.

Сукупнiсть усiх значень y називається множиною значень функцiї i позначається символом E(y) або Y.

Той факт, що y є функцiєю вiд x, скорочено позначатимемо так:

y = f (x), x X, де символ f називається характеристикою функцiї й означає правило, за яким елементу x X вiдповiдає єдиний елемент y Y. Тодi множина значень функцiї Y = {y : y = f (x), x X}.

Якщо функцiя f ставить у вiдповiднiсть числу x0 деяке число y0, то це записують у виглядi y0 = f (x0 ) i при цьому y0 називають значенням функцiї при x = x0.

Поряд iз термiном функцiя використовують рiвнозначний термiн вiдображення, а замiсть запису y = f (x) пишуть f :

x y i кажуть, що f вiдображає число x у число y, або, що число y є образом числа x при вiдображеннi f.

При обчисленнях запис y = f (x) зручнiший запису вигляду f : x y. Наприклад, запис f (x) = x2 значно зручнiше i простiше використовувати при аналiтичних перетвореннях, нiж запис f : x x2.

Крiм букви f для позначення функцiй використовують й iншi букви, наприклад, y = y(x), y = g(x), y = (x), y = F (x) i т.д. Iншими буквами можуть позначатися також залежна i незалежна змiннi.

Двi функцiї f i g називатимемо рiвними, якщо вони мають спiльну область визначення X i f (x) = g(x), x X.

Функцiя, усi значення якої однаковi, називається сталою.

Сталу функцiю позначають символом y = C, x R.


Купить саженцы и черенки винограда

Более 140 сортов столового винограда.


Функцiя y = f (x), x X, називається обмеженою зверху (знизу) на множинi X, якщо iснує число M (m) таке, що для довiльного x X виконується нерiвнiсть f (x) M (f (x) m).

Якщо функцiя обмежена зверху i знизу на множинi X, то вона називається обмеженою на цiй множинi. Умову обмеженостi функцiї f можна сформулювати ще й так: iснує число A таке, що для довiльного x X виконується нерiвнiсть |f (x)| A. Наприклад, функцiя f (x) = cos x, x R, обмежена на R, бо | cos x| 1, x R, а функцiя f (x) = x не є обмеженою на iнтервалi (0; 1), оскiльки не iснує числа M такого, щоб для довiльного x (0; 1) виконувалася нерiвнiсть x M.

Для наочного зображення поведiнки функцiї, будують графiк, розглядаючи незалежну змiнну x i функцiю y як прямокутнi координати деякої точки M на площинi Oxy.

Графiком функцiї y = f (x), x X, називається множина усiх точок M (x; y) площини Oxy, координати яких зв’язанi даною функцiональною залежнiстю, тобто множина точок вигляду f = {(x; f (x)), x X}.

Графiк функцiї може бути деякою суцiльною лiнiєю (кривою або прямою), а може складатися з окремих точок.

yT y1 = 1 x

–  –  –

нi функцiї.

У той же час частина кола, що лежить у нижнiй пiвплощинi, є графiком функцiї y1 = 1 x2, x [1; 1], а друга частина, що лежить у верхнiй пiвплощинi,– графiком функцiї y = 1 x2, x [1; 1].

Способи задання функцiї. Для того щоб задати функцiю

f, треба:

1) встановити область D(f ) визначення функцiї;

2) описати закон вiдповiдностi, за яким для кожного x D(f ) знаходитимемо число y.

Основнi способи задання цього закону: аналiтичний, графiчний, табличний i словесний.

При аналiтичному способi задання функцiя визначається за допомогою аналiтичного виразу, тобто за допомогою формули, яка вказує, якi треба операцiї здiйснити над значеннями аргументу, щоб дiстати вiдповiдне значення функцiї.

Якщо функцiя y = f (x), x X, задана формулою, то її характеристика f описує ту сукупнiсть дiй, яку треба в певному порядку виконати над значенням аргументу x, щоб одержати вiдповiдне значення функцiї. Наприклад,

x2 1, x (; 1) (1; +). f (x) =

Тут f означає: 1) пiднесення до квадрата x; 2) вiднiмання вiд одержаного результату одиницi; 3) добування з одержаної рiзницi кубiчного кореня.

При аналiтичному способi задання функцiї, якщо область визначення не описана, вважають, що нею є множина всiх тих значень x, для яких написана формула має змiст. Цю область називають природною областю визначення. Наприклад, y = 1 x2 має областю визначення тi x, для яких 1 x2 0, тобто X = [1; 1].

Треба пам’ятати, що не можна ототожнювати функцiю i формулу, за допомогою якої задається ця функцiя. Наприклад:

1) y = x2, x (0; +); 2) y = x2, x [2; 2]; 3) y = x2, x R, це три рiзнi функцiї, оскiльки вони мають рiзнi областi

–  –  –

Таблицi часто використовуються для задання функцiй. Так, добре вiдомими є таблицi тригонометричних функцiй, таблицi логарифмiв i т.п. Прикладом табличного способу задання функцiй є також графiк руху поїздiв, який визначає мiсцезнаходження поїзда в окремi моменти часу.

Графiчний спосiб задання функцiї полягає в тому, що дається графiк функцiї, а її значення, якi вiдповiдають тим або iншим значенням аргументу, знаходяться безпосередньо з графiка.

Наприклад, на рис. 1 зображено графiк деякої функцiї y = f (x), iз якого видно, що D(f ) = [2; 3], E(f ) = [1; 4].

Важливим є вмiння читати графiк, тобто встановлювати влас

–  –  –

З означення парної функцiї випливає, що будь-якi двi точки графiка цiєї функцiї M1 (x; f (x)) i M2 (x; f (x)) симетричнi вiдносно осi ординат. Тому графiк парної функцiї розмiщується симетрично вiдносно осi Oy.

–  –  –

При цьому найменше з додатних чисел T (якщо воно iснує), якi задовольняють умову f (x ± T ) = f (x), називається перiодом функцiї y = f (x), x X. З тригонометрiї вiдомо, що функцiї y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x є перiодичними.

Для перших двох iз них перiод дорiвнює 2, а двi останнi мають перiод. При дослiдженнi перiодичної функцiї з перiодом T i побудови її графiка досить знати значення цiєї функцiї на будь-якому вiдрiзку довжини T, наприклад, на [0; T ].

Перiодичними функцiями є не лише тригонометричнi функцiї. Наприклад, функцiя Дiрiхле є перiодичною, оскiльки для довiльного числа r Q маємо (x + r) = (x), x R. Слiд зазначити, що ця функцiя перiоду не має.

–  –  –

Наприклад, функцiя y = x3, x R, монотонна на R; функцiя y = x2, x R, – кусково-монотонна: на (, 0) вона спадає, а на (0; +) – зростає.

У випадку, коли для {x1, x2 } X i x2 x1 виконується нерiвнiсть f (x2 ) f (x1 ) (f (x2 ) f (x1 )), то функцiя f називається неспадною (незростаючою) на множинi X.

–  –  –

Перейдемо тепер до загального випадку. Розглянемо функцiю y = f (x) з областю визначення X i множиною значень Y.

Нехай ця функцiя така, що пряма, яка проходить через довiль

–  –  –

1.6. Складена функцiя. Елементарнi функцiї.

Нехай функцiя y = f (u) є функцiєю вiд змiнної u, визначеною на множинi U з областю значень V, а змiнна u у свою чергу є функцiєю u = (x) вiд змiнної x, визначеною на множинi X з областю значень U. Тодi задана на множинi X функцiя y = f ((x)) називається складеною функцiєю (або композицiєю функцiй, суперпозицiєю функцiй, функцiєю вiд функцiї). Змiнну u називають промiжним аргументом складеної функцiї.

Наприклад, якщо y = lg u, а u = sin x, то y є складеною функцiєю вiд x: y = lg sin x. Ця складена функцiя визначена лише для тих значень x, при яких u = sin x 0, тобто для x (2n; + 2n), n Z, оскiльки логарифмiчна функцiя визначена лише для додатних значень аргументу.

Стала функцiя f (x) = C, C = const, степенева функцiя x ( R), показникова функцiя ax (0 a = 1), логарифмiчна функцiя loga x (0 a = 1), тригонометричнi функцiї: sin x, cos x, tg x, ctg x i оберненi тригонометричнi функцiї: arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x називаються найпростiшими елементарними функцiями.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 15 |
 
Похожие работы:

«МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ щодо застосування засобу Дезактін з метою дезінфекції об’єктів та достерилізаційного очищення виробів медичного призначення 1. ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ 1.1. Назва засобу дезінфекційний засіб Дезактін за ТУ У 22920528.002Фірма виробник ТОВ Делана (Україна).1.3. Склад засобу, вміст діючих та допоміжних речовин, мас. %: 1,3-дихлор-5,5-диметилгідантоїн (дихлорантин) 21,0-23,0 (діюча речовина); 5,5-диметилгідантоїн 12,4-16,4; диспергатор 9,0-12,0; аніонні поверхневоактивні речовини...»

«Міністерство освіти і науки України Фізичний факультет Одеського національного університету ім. І. І. Мечникова Одеський обласний гуманітарний центр позашкольної освіти та виховання Одеськa обласна організація товариства винахідників та раціоналізаторів України ТЕМИ САМОСТІЙНИХ НАУКОВИХ ДОСЛІДЖЕНЬ (для учнів – виконавців наукових робіт з фізики в рамках Малої академії наук України) Методичні вказівки Одеса 2006 Друкується за рішенням Вченої ради фізичного факультету Одеського національного...»

«Міністерство освіти і науки України Національний університет харчових технологій 80 МІЖНАРОДНА НАУКОВА КОНФЕРЕНЦІЯ МОЛОДИХ УЧЕНИХ, АСПІРАНТІВ І СТУДЕНТІВ \ “Наукові здобутки молоді – вирішенню проблем харчування людства у XXI столітті” Частина 3 10–11 квітня 2014 р. Київ НУХТ 201 Програма і матеріали 80 міжнародної наукової конференції молодих учених, аспірантів і студентів “Наукові здобутки молоді – вирішенню проблем харчування людства у ХХІ столітті”, 10–11 квітня 2014 р. – К.: НУХТ, 2014...»

«1. ПІБ Маслов Олег Вікторович 2. Назва Моделі і методи радіаційно-технологічного контролю стану фізичних бар’єрів безпеки АЕС з ВВЕР 3. Спеціальність 05.14.14. – „ теплові та ядерні енергоустановки ” 4. Місце роботи Одеський національний політехнічний університет 5. Де виконана дисертація Одеський національний політехнічний університет 6. Науковий керівник Максимов Максим Витальевич 7. Опоненти Слісенко Василь Іванович, доктор фізико-математичних наук, ст. наук. співробітник. Літвинський Людвіг...»

«КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА А. Д. СУПРУН ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ФІЗИКИ ФУНКЦІОНУВАННЯ БІЛКІВ Навчальний посібник для студентів фізичного факультету Розглянуто основні структурні характеристики та принципи функціонування білкових молекул. Запропоновано фізичну модель, яка дає змогу пояснити головні функціональні особливості білків. Розраховано на студентів та аспірантів, які спеціалізуються в галузі теоретичної фізики та теоретичної біофізики. ЗМІСТ ВСТУП 1. УТВОРЕННЯ,...»

«УДК 631.48:631.445.26 © В. І. Гамалєй, М. І. Драган, Л. І. Шкарівська ОСОБЛИВОСТІ ГЕНЕЗИСУ ОПІДЗОЛЕНИХ ҐРУНТІВ ПРАВОБЕРЕЖНОГО ЛІСОСТЕПУ Національний науковий центр «Інститут землеробства НААН» В статті проаналізовано особливості генезису ясно-сірих супіщаних, сірих легкосуглинкових, темно-сірих лісових ґрунтів і чорноземів опідзолених, що сформувались на обмеженій території північного Лісостепу. Встановлено, що основні генетичні особливості опідзолених ґрунтів в значній мірі визначаються...»

«В.о. тадеєв Геометрія Геометричні тіла. Векторно-координатний метод у стереометрії клас 11 Підручник для навчання математиці на академічному і профільному рівнях в загальноосвітніх навчальних закладах Підручник для учнів, які прагнуть знати більше, та вчителів, які хочуть вчити краще Рекомендовано Міністерством освіти і науки України ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА — БОГДАН ББК 22.1я72 74.262.21 Т13 Рецензенти: доктор фізико-математичних наук, професор Київського національного університету ім. Тараса...»

«НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ПЕДАГОГІЧНИХ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ ПРОФЕСІЙНО-ТЕХНІЧНОЇ ОСВІТИ Т.В. Волкова, Н.О. Величко, І.В. Гириловська, Д.О. Закатнов, Л.А. Майборода, Л.В. Нестерова, І.М. Савченко, В.В. Ягупов ІНФОРМАЦІЙНО-АНАЛІТИЧНЕ УПРАВЛІННЯ ОСВІТНІМИ СИСТЕМАМИ Методичний посібник Київ – 2012 УДК 377:005 (072) ББК 74.04 І 74 Рекомендовано до друку рішенням Вченої ради Інституту професійно-технічної освіти НАПН України (Протокол № 3 від 26 березня 2012 року) Рецензенти: Свистун В. І. – доктор...»

«НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ М.П. ДРАГОМАНОВА НЕПОРОЖНЯ Лідія Вікторівна УДК 372. 853 МЕТОДИЧНА СИСТЕМА НАВЧАННЯ ХВИЛЬОВОЇ І КВАНТОВОЇ ОПТИКИ ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ КОМП’ЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГІЙ У ЗАГАЛЬНООСВІТНІХ НАВЧАЛЬНИХ ЗАКЛАДАХ 13.00.02 – теорія та методика навчання (фізика) АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата педагогічних наук Київ – 2008 Дисертацією є рукопис Роботу виконано в Інституті педагогіки АПН України доктор педагогічних наук, професор Науковий...»

«УДК 911.52 Карпець Ю. М. Роль тектоніки та геологічної будови у фізико-географічному поділі Волинської височини Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів Анотація. У публікації висвітлено питання фізико-географічного поділу Волинської височини. Виявлена роль тектоніки і геологічної будови в її горизонтальній структурі. Вперше виділено Галицько-Волинську, Буго-Стирську, Стиро-Горинську фізико-географічні підобласті та Гощанський ландшафт на рівні з ними. Виявлена пряма...»




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы


 
2013 www.uk.x-pdf.ru - «Безкоштовна електронна бібліотека»