WWW.UK.X-PDF.RU

БЕЗКОШТОВНА ЕЛЕКТРОННА БІБЛІОТЕКА - Книги, видання, автореферати

 
<< HOME
CONTACTS




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы

Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы
Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |

«Підлягає поверненню на кафедру Математичне програмування Навчально-методичний посібник Частина Чернівці «Рута» ББК 22.183.41я УДК 519.852(076) M 34 Друкується за ухвалою Вченої ради ...»

-- [ Страница 1 ] --

Міністерство освіти і науки України

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

Підлягає поверненню на кафедру

Математичне програмування

Навчально-методичний посібник

Частина

Чернівці

«Рута»

ББК 22.183.41я

УДК 519.852(076)

M 34

Друкується за ухвалою Вченої ради факультету прикладної математики

Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (протокол

№ 9 від 26.05.09 р.)

Рецензенти:

Григорків В.С. – доктор фіз.-мат наук, професор ЧНУ;

Городецький В.В. – доктор фіз.-мат наук, професор ЧНУ;

М-34 Математичне програмування : навчально-методичний посібник. – Ч. 1 / укл. І. Д. Пукальський, І. П. Лусте. – Чернівці : Рута, 2009. – 96 с.

Методичний посібник містить основні теоретичні положення з розділу «Лінійне програмування». До кожної теми наведено розв’язання різнотипних прикладів, а також подано завдання для самостійних занять, що допоможе студентам набути досвід у практичному застосуванні предмета.

Для студентів економічних спеціальностей.

ББК 22.183.41я7 УДК 519.852(076) Пукальський І.Д., Лусте І.П., 2009 Зміст Вступ.................................................... 4 Тема 1. Приклади задач лінійного програмування.

Загальна математична модель лінійного програмування...........

Тема 2. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування.

...........................

Тема 3. Симплексний метод розв’язування задач лінійного програмування.

........................... 21 Тема 4. Поняття двоїстості.

Правила побудови двоїстих задач...

Тема 5. Економічна інтерпретація двоїстої задачі.

............. 57 Тема 6. Транспортна задача. Метод потенціалів................ 68 Зразок варіанта для модульної контрольної роботи № 1.........

Список літератури......................................... 95 Вступ При розв’язанні багатьох прикладних задач використовується метод математичного моделювання. Він дає змогу використовувати аналоги відомих процесів і за допомогою порівняння кількісних ознак приймати правильні рішення.

На економіко-математичних моделях досліджуються економічні закономірності, подані в абстрактному вигляді,за допомогою математичних співвідношень.

Послідовність використання економіко-математичних моделей така: визначають економічну задачу, яка описує реальну чи проблемну ситуацію з урахуванням усіх вихідних даних і зв’язків між ними. На основі аналізу проблеми створюють математичну модель задачі, де основні величини описуються змінними, які за допомогою логічних міркувань перетворюють на математичні співвідношення: рівняння, нерівності, функції. За допомогою математичних методів аналізують модель. У результаті дістають розв’язок проблеми, який після всебічного математичного та економічного аналізу рекомендують до впровадження в практику.

Оскільки найпростішими є лінійні моделі, то виникає потреба їх детального дослідження. Посібник складається з розділів лінійного програмування. Тут розглянуто задачі лінійного програмування (симплекс-метод), проблему двоїстості в лінійному програмуванні, транспорту задачу та методи її розв’язання.

Тема 1. Приклади задач лінійного програмування.

Загальна математична модель лінійного програмування Розглянемо кілька прикладів реальних задач, математичні моделі яких є задачами лінійного програмування.

Задача планування виробництва. Для виробництва товарів використовується деяка кількість різного роду ресурсів (сировина, знаряддя, праця тощо). Відомо, скільки одиниць кожного ресурсу використовується для виробництва одиниці кожного товару, запас кожного ресурсу, а також прибуток від реалізації одиниці кожного товару.

З економічної точки зору задача полягає в наступному: треба так запланувати виробництво товарів, щоб при використанні наявних ресурсів загальний прибуток від виробництва був найбільшим.

Складемо математичну модель задачі.

Нехай m – кількість ресурсів, що використовуються у виробництві;

n – кількість товарів, що можуть вироблятися з наявних ресурсів;

aij – кількість одиниць i-го ресурсу, що використовується для виробництва j-го товару;

bi – максимальна кількість одиниць i-го ресурсу, що можна використати у виробництві (запас одиниць i-го ресурсу);

cj – прибуток від реалізації одиниці j-го товару;

xj – кількість одиниць j-го товару, що планується виробити.

Загальна кількість одиниць i-го ресурсу, що використовується у виробництві згідно з планом, становить:

ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn bi (i = 1, 2, …, m).

Очевидно, xj 0 (j = 1, 2, …, n).

Прибуток, одержаний від виробництва xj одиниць j-го товару, становить cjxj, а загальний прибуток від виробництва L = c1x1 + c2x2 + … + cnxn.

Отже, математична модель задачі є такою: знайти максимум лінійної форми n L ci xi i1 за умов n bi (i = 1, 2, …, m), aij x j j1 xj 0 (j = 1, 2, …, n).

Транспортна задача. У пунктах постачання A1, A2, …, Am є однорідний товар, який треба перевезти в пункти споживання B1, B2, …, Bn. Відомо, скільки одиниць товару є в кожному пункті постачання, скільки одиниць товару потребує кожний пункт споживання, а також вартість перевезення одиниці товару з кожного пункту постачання в кожний пункт споживання.

Припустимо, що виконується умова балансу, тобто загальна кількість одиниць товару, який є в пунктах постачання, збігається з загальною кількістю одиниць товару, що потребують пункти споживання. Тоді з економічної точки зору задача формулюється таким чином: треба так запланувати перевезення товару з пунктів постачання в пункти споживання, щоб весь товар з пунктів постачання був вивезений, потреби всіх пунктів споживання були задоволені й водночас загальна вартість усіх перевезень була б мінімальною.

Складемо математичну модель задачі.

–  –  –

одиниці кожного корму, мінімальна потреба у кожній поживній речовині при відгодівлі худоби, а також вартість одиниці кожного корму.

З економічної точки зору задача полягає в наступному: треба так скласти добовий раціон для відгодівлі худоби, щоб задовольнялась мінімальна добова потреба в поживних речовинах і загальна вартість раціону була б мінімальною.

Складемо математичну модель задачі.

Нехай m – кількість поживних речовин, що містяться в кормах;

n – кількість кормів, які використовуються для відгодівлі худоби;

aij – кількість одиниць i-тої поживної речовини, що міститься в одиниці j-го корму;

bi – мінімальна добова потреба в i-тій поживній речовині при відгодівлі худоби;

cj – вартість одиниці j-го корму;

xj – кількість одиниць j-го корму, що планується використати в добовому раціоні (шукані величини).

Загальна кількість i-тої поживної речовини, яка міститься в кормах раціону, становить:

ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn (i = 1, …, m).

Оскільки ця кількість одиниць не може бути меншою, ніж добова потреба в i-й поживній речовині, то:

ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn bi (i = 1, 2, …, m).

Очевидно, що xj 0 (j = 1, 2, …, n).

Вартість xj одиниць j-го корму становить сjxj, а загальна вартість добового раціону L = c1x1 + c2x2 + … + cnxn.

Отже, математична модель задачі є такою: знайти мінімум лінійної форми n L cjxj j1 за умов n bi (i = 1, 2, …, m), aij x j j1 xj 0 (j = 1, 2, …, n).

Задача про оптимальне завантаження обладнання. Нехай підприємству задано план (N1, N2, …, Nn) з випуску продукції 1, 2,…, n за деякий час T. Продукція обробляється m взаємозамінним

–  –  –

xij 0 (i = 1, m, j = 1, n ).

Характер моделей може змінюватися залежно від постановки задачі. Наприклад, якщо припустити, що план з випуску продукції перевиконується, то обмеження набувають вигляду:

m N i (i = 1, 2, …, n).

xij j1 Якщо задані пропорції між видами продукції в кінцевому валовому продукті й необхідно випустити максимальний обсяг продукції Z, то обмеження й цільова функція набувають вигляду:


Купить саженцы и черенки винограда

Более 140 сортов столового винограда.


m k i z (i = 1, 2, …, n), k1 + k2 + … + kn = 1, xij j1

xij 0 (i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m), Z max, де ki – частка i-го виду продукції в загальному обсязі Z. Можливі й інші варіанти цієї задачі.

Задача про раціональний розкрій матеріалів. Модель даної задачі має важливе значення для економії матеріалів і сировини. Розглянемо постановку задачі. Значна частина матеріалів надходить на підприємство у вигляді певних одиниць стандартних розмірів. Для виробничого використання його доводиться розрізати на частини, щоб одержати заготовки необхідної величини та форми. Виникає проблема мінімізації відходів матеріалів.

Запишемо математичну постановку задачі. Позначимо через m кількість різних заготовок; Bi – план випуску заготовок i-го виду; n – кількість різних способів розкрою стандартного матеріалу; bij – кількість заготовок (кількість одиниць) i-го виду, одержаних за допомогою j-го способу розкрою; cj – величина відходів при j-му способі розкрою.

За невідому xj беремо величину вихідного матеріалу, яку потрібно розрізати j-тим способом, через Z позначимо загальну кількість відходів. Кількість заготовок i-го виду запишемо у вигляді bi1x1 + bi2x2 + … + binxn = Bi.

Тому математична модель задачі має вигляд:

b11x1 + b12x2 + … + b1nxn = B1, b21x1 + b22x2 + … + b2nxn = B2, ………………………….., bm1x1 + bm2x2 + … + bmnxn = Bm, xi 0 (i = 1, 2, …, n), Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn (min).

Характер моделі може змінитися, якщо в умові задати іншу мету.

Наприклад, якщо ставиться задача про одержання заданої кількості заготовок із найменшої кількості вихідного матеріалу, то цільова функція має вигляд Z = min(x1, x2, …, xn).

Моделі розглянутих задач належать до класу задач лінійного програмування, оскільки до моделей усі невідомі входять у першому степені.

Усі моделі задач складаються з двох частин: у першій – записують рівняння чи нерівності, які мають задовольняти реальні плани задачі, у

–  –  –

C = (c1, c2, …, cn) – вектор коефіцієнтів при змінних у цільовій функції.

Загальна задача лінійного програмування (1) – (3) геометрично інтерпретується так: кожне і-те обмеження, що має вигляд рівняння ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = bi, в n-вимірному просторі основних змінних x1, x2, …, xn задає гіперплощину. Кожному обмеженню вигляду (2) і (3) відповідають гіперплощина та півпростір, який лежить по один бік від цієї гіперплощини. У перетині всіх півпросторів, що визначаються обмеженнями задачі (2) і (3), утворюється опуклий багатогранник її допустимих розв’язків.

Цільову функцію Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn в n-вимірному просторі основних змінних можна геометрично інтерпретувати як сім’ю паралельних гіперплощин, положення кожної з яких визначається значеннями параметра Z.

–  –  –

– Ціна продукції 8 3 Сформулювати економіко-математичну модель задачі.

Задача 2. Фірма виготовляє деякий препарат побутової хімії.

Продукція фірми, що надходить на споживчий ринок, має відповідати певним вимогам, які характеризуються трьома показниками: очищувальні й дезинфікувальні властивості, а також подразнювальний вплив на шкіру людини. Кожний із цих показників вимірюється за лінійною шкалою від 0 до 100 од. Кінцевий продукт виробництва утворюється як суміш основних компонентів A, B, C, характеристики яких наведено в таблиці, і повинні мати не менше ніж 60 од. очищувальних властивостей і принаймні 60 од.

дезинфікувальних.

Компонент Очищувальні Дезинфікувальні Подразнювальний властивості властивості вплив на шкіру A 90 30 70 B 65 85 50 C 45 70 Сформулювати економіко-математичну модель задачі.

Задача 3. Підприємство випускає r видів хімічної продукції в обсягах D1, D2, … Dr одиниць, кожна з яких є сумішшю кількох компонентів.

Припустимо, що таких компонентів є n і запаси вихідної сировини відповідно дорівнюють A1, A2, …, An одиниць.

Необхідно так виготовити суміші, щоб прибуток від реалізації продукції був найбільшим. Скласти математичну модель задачі.

Задача 4. Грошові кошти фірми можуть використовуватися для фінансування двох проектів.

Проект А гарантує отримання через рік прибутку в розмірі 60 центів на кожний вкладений долар.

Проект В гарантує отримання прибутку в розмірі 2 дол. на кожний інвестований долар, але через два роки. При фінансуванні проекту В період інвестиції має бути кратним двом рокам. Визначити, як потрібно розпорядитися капіталом у сумі 100000 дол., щоб максимізувати загальний прибуток, який можна отримати через три роки після початку інвестицій. Скласти математичну модель задачі.

Задача 5. На трьох складах (І, ІІ, ІІІ) знаходиться відповідно 90, 70, 50 тонн борошна, яке необхідно перевезти в магазини (1, 2, 3, 4) відповідно в кількості 80, 60, 40, 30 тонн.

Вартість перевезення 1 тонни борошна в магазини 1, 2, 3, 4 зі складу І дорівнює відповідно 2, 1, 3, 2 гривні, зі складу ІІ – 2, 3, 3, 1 гривня, зі складу ІІІ – 3, 3, 2, 5 гривень. Скласти економіко-математичну модель задачі.

Тема 2. Графічний метод розв’язання задач лінійного програмування Для розв’язання двовимірних задач лінійного програмування, тобто задач із двома змінними, а також деяких тривимірних задач застосовують графічний метод, що грунтується на геометричній інтерпретації та аналітичних властивостях задач лінійного програмування.

Розглянемо таку задачу.

Знайти екстремум (мінімум, максимум) функції Z = c1x1 + c2x2 max(min). (1) за умов a11x1 + a12x2 {, =, } b1, a21x1 + a22x2 {, =, } b2, ……………………………………., (2) am1x1 + am2x2 {, =, } bm, x1 0, x2 0. (3) Припустимо, що система (2) за умов (3) сумісна та область її допустимих розв’язків непорожня.

Згідно з геометричною інтерпретацією задачі лінійного програмування, кожне i-те обмеження-нерівність (2) визначає півплощину з граничною прямою ai1x1 + ai2x2 = bi (i = 1, 2, …, m).

Системою обмежень (2) описується спільна частина або переріз усіх зазначених півплощин, тобто множина точок, координати яких задовольняють усі обмеження задачі. Таку множину точок називають багатокутником розв’язків, або областю допустимих планів (розв’язків) задачі лінійного програмування.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
Похожие работы:

«Міністерство аграрної політики та продовольства України Вінницький національний аграрний університет ТАРАСЮК НАТАЛІЯ МИХАЙЛІВНА УДК 631.11:347.453.1 УДОСКОНАЛЕННЯ ЕКОНОМІЧНИХ ВЗАЄМОВІДНОСИН ПІДПРИЄМСТВ МОЛОКОПРОДУКТОВОГО ПІДКОМПЛЕКСУ АПК 08.00.04 – економіка та управління підприємствами (за видами економічної діяльності) Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук Вінниця – 2012 Дисертацією є рукопис. Робота виконана у Вінницькому національному аграрному...»

«ЖИТОМИРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІЛЯЧЕНКО ОЛЕНА ЛЕОНІДІВНА УДК: 657.421.3 (043.3) БУХГАЛТЕРСЬКИЙ ОБЛІК І КОНТРОЛЬ ОПЕРАЦІЙ З ПРОГРАМНИМ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯМ Спеціальність 08.00.09 бухгалтерський облік, аналіз та аудит (за видами економічної діяльності) АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук Житомир – 2011 Дисертацією є рукопис. Робота виконана на кафедрі бухгалтерського обліку Житомирського державного технологічного університету Міністерства...»

«О.Ляшенко.Особливості методології економіко-математичного моделювання трансферу технологій/ О.Ляшенко // Галицький економічний вісник. — 2010. — №3(28).— с.26-34 (економікоматематичне моделювання) УДК 330.45 Оксана ЛЯШЕНКО ОСОБЛИВОСТІ МЕТОДОЛОГІЇ ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ТРАНСФЕРУ ТЕХНОЛОГІЙ Резюме. У статті узагальнено методологічні основи наукового пізнання з використанням математичного моделювання економічних процесів, що дало змогу ідентифікувати особливості методології...»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ПВНЗ «ЄВРОПЕЙСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МЕНЕДЖМЕНТУ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання, оформлення та захисту дипломних робіт (для студентів зі спеціальності 8.03060101 „Менеджмент організації та адміністрування” освітньо-кваліфікаційного рівня „Магістр” напрямку підготовки: 030 „Менеджмент і адміністрування” Київ – 201 Методичні вказівки до виконання, оформлення і захисту дипломних робіт (для студентів зі спеціальності 8.03060101 „Менеджмент організації та...»

«Національний лісотехнічний університет України 5. Гершун А., Горский М. Технологии сбалансированного управления. – М. : ОлимпБизнес, 2005. – 416 с.6. Фатхутдинов Р.А. Стратегический менеджмент : учебник [для студ. ВУЗов]. – 2-ое изд. [доп.]. – М. : ЗАО Бизнес-школа Интел-Синтез, 1998. – 416 с.7. Шершньова З.Є., Оборська С.В. Стратегічне управління : навч. посібник. – К. : Видво КНЕУ, 1999. – 384 с.8. Редченко К.І. Стратегічний аналіз у бізнесі : навч. посібник. – 2-ге вид. [доповнене]. – Львів...»

«МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ МАРДУС НАТАЛІЯ ЮРІЇВНА УДК 658.03 (043.3) ЦІНОВЕ ПОЗИЦІОНУВАННЯ ТОВАРІВ ВИРОБНИЧО–ТЕХНІЧНОГО ПРИЗНАЧЕННЯ В СИСТЕМІ МАРКЕТИНГУ Спеціальність 08.00.04 Економіка та управління підприємствами (за видами економічної діяльності) АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук Суми – 2013 Дисертацією є рукопис. є рукопис. Робота виконана у Національному технічному університеті «Харківський політехнічний...»

«Донбаська державна машинобудівна академія О.А. Медведєва, А.Г. Фокін EXCEL в математичних та економічних розрахунках Навчальний посібник Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для вищих навчальних закладів Краматорськ 200 УДК 681.3 ББК Рецензенти: Калоєров С.О. – д.ф.-м.н., проф., Донецький національний університет Білоусова Л.И. – к.ф.-м.н., проф., ХДПУ ім. Г.С. Сковороди Кравченко В.І. – к.т.н., Донбаська державна машинобудівна академія Гриф надано...»

«УКООПСПІЛКА ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД УКООПСПІЛКИ «ПОЛТАВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЕКОНОМІКИ І ТОРГІВЛІ» Галузева науково-дослідна лабораторія харчових виробництв НОВІ ТЕХНОЛОГІЇ І ОБЛАДНАННЯ ХАРЧОВИХ ВИРОБНИЦТВ МАТЕРІАЛИ МІЖВУЗІВСЬКОГО НАУКОВО-ПРАКТИЧНОГО СЕМІНАРУ (м. Полтава, 26 квітня 2012 р.) Науковий керівник семінару професор В. О. Дорохін Полтава ПУЕТ © ПУЕТ УДК 6 ББК 36я431 Н 73 Представлені матеріали заслухані, обговорені і рекомендовані до друку на засіданні міжвузівського науково-практичного...»

«ЖИТОМИРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГIЧНИЙ УНIВЕРСИТЕТ Чухліб Ольга Анатоліївна УДК 657.471.1:658.511 (043.3) ОБЛІК І АНАЛІЗ ВИРОБНИЧИХ ВИТРАТ В УМОВАХ БЮДЖЕТУВАННЯ: ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА Спецiальнiсть 08.00.09 – бухгалтерський облiк, аналiз та аудит (за видами економiчної дiяльностi) АВТОРЕФЕРАТ дисертацiї на здобуття наукового ступеня кандидата економiчних наук Житомир – 201 Дисертацiєю є рукопис. Робота виконана на кафедрi бухгалтерського облiку Житомирського державного технологiчного унiверситету...»

«Національний лісотехнічний університет України Науковий вісник НЛТУ України. – 2013. – Вип. 23.13 11. Енгибарян Р.В. Конституционное развитие в современном мире. Основные тенденции : 34. Karpinsky B.A. Role of budget-taxes in formation equation of the financial system of the staмонография / Р.В. Енгибарян. – М. : Изд-во Норма, 2007. – 496 с. te: evaluation and prognostic approach / B.A. Karpinsky, S.K. Shkulka // Nauka i studia. Ekonomiczne 12. Загородній А.Г. Фінансово-економічний словник /...»




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы


 
2013 www.uk.x-pdf.ru - «Безкоштовна електронна бібліотека»